初等数学（常用三角函数）

积化和差公式
\(\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\)

和差化积公式
\(\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\[7pt] \sin\alpha-\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[7pt] \cos\alpha+\cos\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\[7pt] \cos\alpha-\cos\beta =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[7pt] \tan\alpha+\tan\beta =\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\)

归一化公式
\(\sin^2 x+\cos^2x =1 \\[7pt] \sec^2 x-\tan^2x =1 \\[7pt] \cosh^2x-\sinh^2x =1\)

倍(半)角公式，降(升)幂公式
\(\sin^2x =\frac{1}{2}(1-\cos 2x) \\[7pt] \cos^2x =\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \\[7pt] \tan^2x =\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\[7pt] \sin x =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\[7pt] \cos x =2\cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \\[7pt] \tan x =\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}\)

万能公式
令$ u=\tan\dfrac{x}{2} $则 \(\sin x=\frac{2u}{1+u^2} \\[7pt] \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\)

基本知识

集合与逻辑

函数、实数、确界、不等式

序列的极限

计算题主要思路：

• 夹逼准则。两边都是收敛的序列，并且收敛到同一个值。或者一边是常数，另一边是收敛的序列
• 用 $\delta \sim \varepsilon$ 语言（极限的定义）
• 遇到迭代式，可先证明极限存在，然后两边取 $\lim$，解方程得到结果。
• 洛必达法则
• 有一些常见的高阶无穷小关系

证明题主要思路

• 单调有界定理。
  • 单调递增有上界必有极限
  • 单调递减有下界必有极限
• Cauchy 收敛原理。一个序列 $x_n$ 收敛的 充分必要条件是 $\forall \varepsilon >0 , \exists N, s.t. m,n>N \Rightarrow \mid x_n-x_m\mid< \varepsilon$
  • 做题时经常用下标 $n,n+p$
• 区间套定理。若 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$ 对于 所有 n 都成立，并且 $\lim\limits_{n\to \infty} (b_n-a_n)=0$（称为区间套），则存在一个实数 $\xi$，并且$\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty} b_n=\xi$
• 魏尔施特拉斯定理：任意有界序列至少有一个收敛的子列。

一些常见的极限，可以用来快速判断谁是更高阶的无穷大

• $e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$，约为 2.7
  • 这个引理使用频率很高：$(1+1/n)^n$ 单调递增，且小于 e; $(1+1/n)^{n+1}$ 单调递减，且大于 e
• $\gamma = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln n \right)$ 这是欧拉常数，约为 0.577，证明思路如下
  • 证明 $1/(n+1) < ln(1+1/n) < 1/n$
  • 要证明上面的式子，只需要用关于 e 的引理
• $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^n}{n!}=0$
  • 可以用定义来证明
• $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n!}{n^n}=0$
  • 可以用定义证明
  • 也可以造一个迭代式 $x_{n+1}/x_n$ 证明单调有界，然后两边取 $\lim$
• $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$
  • 证法1放缩。 $n^{1/n} = {\sqrt n \cdot \sqrt n \cdot 1 \cdot1 … \cdot 1}^{1/n} \leq \dfrac{2\sqrt n+n-2}{n}$
  • 证法2，先证明其单调递减有下界，从而有极限。然后构造迭代式：$a_n, a_{2n}$
• $\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{\sqrt[n]{n!}}}=0$
  • 证法放缩。$(n!)^2\geq n^n$

例子，证明 $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{3^2})…(1+\frac{1}{n^2})$ 存在。

• 使用关于 e 的引理

函数的极限

主要定义

• 函数极限的定义， $\delta \sim \varepsilon$ 语言
• 单侧极限、双侧极限
• 自变量趋于无穷的极限$\lim\limits_{x\to+\infty},\lim\limits_{x\to-\infty},\lim\limits_{x\to\infty}$
• 广义极限($\lim f(x) =\pm \infty$)
• 高阶无穷小、高阶无穷大、同阶无穷小（大）、等价无穷小（大）
• 函数连续、单侧连续、第一类间断点、第二类间断点

定理

• 重要极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} =1, \lim\limits_{x\to+\infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$
• 函数极限满足四则运算
  • 初等函数在其定义域内连续
• 极限式的变换。如果 $f(t)$ 定义在$\mathring{U}(t_0)$，$t=g(x):\mathring{U}(x_0) \to \mathring{U}(t_0)$ 是一一映射，那么 $\lim\limits_{x\to x_0} f(t_0) = \lim\limits_{t \to t_0} f(g(x))$
  • $\mathring{U}(x_0)$ 表示去心邻域，它的规范写法是 $N_\epsilon(x_0) \setminus {x_0}$，正式场合要用规范写法
• 归结原理。如果 $f(x)$ 定义在 $\mathring{U}(a)$，则 $\lim\limits_{x\to a} f(x) = A$ 成立的充分必要条件是：对于 $\mathring{U}(a)$ 的任意序列 \(\{ x_n \}\)，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a \Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$。
  • 上面的定理对于普通极限和广义极限都成立
• Cauchy. $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ 存在的充分必要条件：$\forall \varepsilon, \exists \delta>0$ 使当 $x_1,x_2 \in \mathring{U}_{\varepsilon}(a)$ 时，有 $| f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
  • 对于自变量趋于无穷的极限也有类似的结论

常用的结论

• 若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_1+a_2+…+a_n}{n}=0$
  • 证明方法：用定义
• 若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$，则 $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_1+a_2+…+a_n}{n}=a$
  • 证明方法：用上面的结论
  • 对于广义极限 $a=+\infty$，也成立
• 若 $a_n>0, \lim\limits_{n\to \infty} a_n = a$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot … \cdot a_n}=a$
  • 证明方法：用上面的结论
• 类似的题目
  • 若 $a_n>0, \lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a$
  • $a_n>0, \lim\limits_{n\to \infty} a_{n+1}-a_n = a$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=a$ 这个结论可以像洛必达法则一样快速解题

连续

一致连续的定义。$f(x)$ 定义在 $I$ 上，$\forall \varepsilon >0, \exists \delta>0$， 当 $x_1,x_2\in I, \mid x_1 - x_2\mid<\delta$ 时，有 $\mid f(x_1) - f(x_2)\mid <\varepsilon$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续

一些定理：

$f(x)$ 在 $I$ 上 不一致连续的充要条件 是存在 $I$ 上的两个序列 $x_n,y_n$，满足 $\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n-y_n)=0$，但是广义极限 $\lim\limits_{n\to+\infty}(f(x_n)-f(y_n))=A\not=0$

康托定理： 闭区间上的连续函数一定一致连续

介值定理 $f(x):[a,b]$ 连续，$\eta \in R$ 介于 $f(a),f(b)$之间，那么 $\exists \xi$ 使得 $f(\xi)=\eta$

最大（小）值定理 $f(x):[a,b]$ 连续，则 $\exists x_1 \in [a,b]$ 使得 $f(x_1)=\max\limits_{x\in[a,b]}f(x)$；同样，$\exists x_2 \in [a,b]$ 使得 $f(x_1)=\min\limits_{x\in[a,b]}f(x)$

例题

• $f(x):[a,b]$连续，求证：$\exists \xi \in (a,b)$，使 $f(\xi)=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n f(x_k)$
  • 思路：记 $f(x_a)=\min(f(x_k)),f(x_b)=\max(f(x_k))$，那么根据介值定理 $\exists \xi \in [a,b]$（这之前先分类 $a=b$ 等情况）

一元函数微分学

基本内容

• 导数的定义（某个极限）
• 导数的几何意义：切线的斜率
• 左导数/右导数
• 常见函数的导数
• 导数的运算法则
  • 四则运算
  • 复合函数-链式法则
  • 反函数的导数(下面写)
  • 参数方程确定的函数的导数（下面写）
  • 隐函数的导数（下面写）

常见函数的导数
\((C)'=0 \\ ( x^{\mu})'=\mu x^{\mu-1} \\ ( \sin x)'=\cos x \\ ( \cos x)'=-\sin x \\ ( \tan x)'=\sec^2 x \\ ( \cot x)'=-\csc^2 x \\ ( \sec x)'=\sec x\cdot\tan x \\ ( \csc x)'=-\csc x\cdot\tan x \\ ( a^x)'=a^x\ln a\ (a>0,a\neq1) \\ ( \log_{a}x)'=\frac{1}{x\cdot\ln a}\ (a>0,a\neq1) \\ ( \arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ ( \arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ ( \arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} \\ ( \mathrm{arccot}\, x)'=-\frac{1}{1+x^2} \\\)

n阶导数
\((\exp x)^{(n)}= \exp(x) \\ (\sin x)^{(n)} = \sin(x+\frac{n\pi}{2})\\ (\cos x)^{(n)} = \cos(x+\frac{n\pi}{2})\)

莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$

反函数的导数 如果：$x=\phi(x)$在 $(c,d)$ 上连续、严格单调，值域为 $(a,b)$ ，且 $\phi’(y_0)\not=0$。那么：反函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0=\phi(y_0)$ 处可导，且 $f’(x_0)=\dfrac{1}{\phi’(y_0)}$

参数方程确定的函数的导数 $x=\phi(t),y=\psi(t)$，在 $(\alpha,\beta)$ 上连续，那么 ${dy}/{dx}= \dfrac{dy}{dt}/\dfrac{dx}{dt}$

隐函数的导数 $F(x,y)=0$ 是 $y=f(x)$ 对应的隐函数

典型题目

【证明题】假设 $x(t),y(t)$可微，且 $r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=\arctan \frac{y}{x}$，那么 $(dx)^2+(dy)^2=(rd\theta)^2+(dr)^2$

微分中值定理

费马定理 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 上有定义，且 $f(x_0)$ 是 $\mathring{U}(x_0)$ 上的最值（最大值或最小值），且 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 可微，那么 $f’(x_0)=0$

罗尔中值定理 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可微，且 $f(a)=f(b)$，那么 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $f’(\xi)=0$

拉格朗日中值定理 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可微，那么 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $f’(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理 $f(x),f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可微，且 $g’(x)\not = 0$，那么 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $\dfrac{f’(\xi)}{g’(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

达布定理 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可导，那么 $f’(x)$ 的值域是一个区间