矩阵

对称矩阵(symmetric matrix)

$A^T=A$

反对称矩阵(anti-symmetric matrix)

$A^T=-A$

共轭矩阵

矩阵中的每个元素换成共轭复数，记做$\bar A$

Hermite matrix

满足$\bar A^T=A$的矩阵

anti Hermite matrix

满足$\bar A^T=-A$

TH

• $\bar A^T =\bar{A^T}$
• $A_{m\times n}$是矩阵，那么$AA^T$是对称矩阵
• $A$是反对称矩阵，那么$\forall X,X^T AX=0$

正交矩阵

$A^TA=E\Leftrightarrow$ 行向量规范正交且列向量规范正交（也就是，向量两两正交，且都是单位向量）
$A$正交$\Leftrightarrow A^{-1}=A^T$都是正交矩阵正交
$A,B$正交$\Leftrightarrow AB$正交

分块矩阵

分块矩阵：分块矩阵的数乘、矩阵乘、转置有一些优美的规律。

• 加法 \(\left [ \begin{array}{ccc} A_1 & A_2\\ A_3 & A_4 \end{array}\right] + \left [ \begin{array}{ccc} B_1 & B_2\\ B_3 & B_4 \end{array}\right] = \left [ \begin{array}{ccc} A_1 + B_1 & A_2 + B_2\\ A_3 + B_3 & A_4 + B_4 \end{array}\right]\)
• 乘法 \(\left [ \begin{array}{ccc} A_1 & A_2\\ A_3 & A_4 \end{array}\right] \left [ \begin{array}{ccc} B_1 & B_2\\ B_3 & B_4 \end{array}\right] = \left [ \begin{array}{ccc} A_1 B_1 + A_2 B_3 & A_1 B_2 + A_2 B_4 \\ A_3 B_1 + A_4 B_3 & A_3 B_2 + A_4 B_4 \end{array}\right]\)
• 乘方 \(\left [ \begin{array}{ccc} A &0 \\ 0 & B \end{array}\right]^n = \left [ \begin{array}{ccc} A^n &0 \\ 0 & B^n \end{array}\right]\)
• 逆 \(\left [ \begin{array}{ccc} A &0 \\ 0 & B \end{array}\right]^{-1} = \left [ \begin{array}{ccc} A^{-1} &0 \\ 0 & B^{-1} \end{array}\right]\)
• 逆 \(\left [ \begin{array}{ccc} 0 & A \\ B & 0 \end{array}\right]^{-1} = \left [ \begin{array}{ccc} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{array}\right]\)

矩阵函数

$\phi(A)\psi(A)=\psi(A)\phi(A)$
$\Lambda =diag(\lambda_i) \Rightarrow diag(\phi(\lambda_i))$
$A=PBP^{-1} \Rightarrow \phi(A)=P\phi(B)P^{-1}$

矩阵的逆

可逆矩阵(invertible)

$A\in F^{m\times n}, \exists B\in F^{n\times m}$,使得$AB=I$,并且$BA=I$，叫做A 可逆，B是A的 逆(inverse)

TH

1. 逆矩阵唯一
2. 如果A可逆，那么A各列线性无关
3. 如果A可逆，那么A是方阵，且$\mid A\mid\neq 0$
4. $(A^{-1})^{-1} =A$,逆矩阵一定可逆

运算律

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$(其中一个是数字也成立)
• $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$
• $(\lambda A)^{-1}=\lambda^{-1} A^{-1}$

如何求逆矩阵：
$(A,B)$可以做初等行变换，变为$(E,A^{-1}B)$（可以用来求$A^{-1}B$）

伴随矩阵

$A^* A=AA^* =\mid A\mid E$

推论： $A^{-1}=\dfrac{1}{\mid A \mid} A^* , (A^* )^{-1}=\dfrac{1}{\mid A \mid}A ,(if \mid A\mid \neq 0)$
$A^* =\mid A \mid ^{n-1}E$
$(A^* )^{-1} =(A^{-1})^* ,(A^* )^T=(A^T)^* $
$(kA)^* =k^{n-1} A^* $

相抵（矩阵等价）

相抵（等价，equivalent）

如果A可以通过一系列的初等行变换和初等列变换变成B，那么称为A,B 等价

矩阵的初等变换

矩阵做初等行变换，相当于左乘一相应的 初等方阵
矩阵做初等列变换，相当于右乘一个相应的初等方阵。

TH

1. 对任意矩阵$A_{m\times n}$，都可以通过有限次 初等行变换 和 初等裂变换 ，变成\(\left ( \begin{array}{ccc} I_r &O\\O&O\end{array}\right)\)，其中$r=rank A$
2. 对任意矩阵$A_{m\times n}$，存在有限个初等方阵，使得 \(P_s...P_2P_1 A Q_1Q_2...Qt=\left ( \begin{array}{ccc} I_r &O\\O&O\end{array}\right)\)
3. 对任意矩阵$A_{m\times n}$，存在可逆阵$P,Q$,使得\(PAQ=\left ( \begin{array}{ccc} I_r &O\\O&O\end{array}\right)\)
4. 可逆方阵可以经过有限次初等 行 变换，变成单位矩阵。（注意，只做行变换就可以$A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}Q_t^{-1}…Q_2^{-1}Q_1^{-1}$）

秩

矩阵的行秩等于列秩
$rank AB \leq rank A$

TH1

1. A，B等价$\Leftrightarrow$存在可逆方阵P，Q，使得$B=PAQ$
2. 等价有 反身性，对称性，传递性
3. A,B等价，那么A，B的秩相等

TH2

• $A_{m\times n} B_{n\times l}=0 \Rightarrow R(A)+R(B) \leq n$
• 推论：$A_{m\times n}x=0$的解集是S，那么$R(S)=n-R(A)$

TH3

• $Ax=0$与$A^TAx=0$同解
• $R(A)=R(A^T A)$
• $A=0\Leftrightarrow A^T A=0$

TH4

• $A_{m\times n}B_{n\times l}=C,R(A)=n \Rightarrow R(B)=R(C)$

TH5

• $max(R(A),R(B))\leq R([A,B]) \leq R(A)+R(B)$
• $R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
• $R(AB)\leq min(R(A),R(B))$

TH6 线性方程组 $Ax=b$ 有以下结论

• 无解$\Leftrightarrow R(A)<R(A,b)$
• 有唯一解$\Leftrightarrow R(A)=R(A,b)=n$
• 无穷多解$\Leftrightarrow R(A)=R(A,b)<n$
• $Ax=b$比$Ax=0$多一个线性无关的解

特征值

求法

• 特征值 $\mid \lambda E-A\mid=0$
• 特征向量是 $(\lambda E - A) x = 0$的基础解系

特征值的性质1

• 不同特征值的特征向量线性无关
• k重特征值最多有k个特征向量
• $\mid A \mid=\prod \lambda_i, \sum a_{ii}=\sum \lambda_i$成立

特征值的性质2

相合

？？？

• 相抵: 秩相同
• 相合: 秩相同, 正负惯性指数相同
• 相似: 秩相同, 特征多项式相同, 进而有相同的行列式、迹、特征值

参考：https://www.docin.com/p-474107652.html

https://www.zhihu.com/question/452504241

相似

定义： $P^{-1}AP=B$

性质：

• $P^{-1}AP=B$，那么特征值一样

可对角化（定义是$P^{-1}AP=\Lambda$）
充要条件：

• 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
• 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 如果$\lambda$是k重特征根，那么对应k个线性无关的特征向量
• 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 如果$\lambda_i$是A的$n_i$重特征根，一定有$r(\lambda_i E-A)=n-n_i$，

充分条件：

• 可对角化$\Longleftarrow$ A有n个不同的特征值
• 可对角化$\Longleftarrow$ A是实对称矩阵

关于实对称矩阵：

• 必然可对角化
• 必然可以用正交矩阵对角化
• 特征值都为实数

矩阵合同

对于实对称阵，合同的充要条件是 具有相同的正负惯性指数。

二次型

• 矩阵表示 $x^T Ax$
• 惯性定理，正、负惯性指数
• 合同 $C^T AC=B,$其中$C$可逆
• 化为标准型（配方法，正交变换法）
• 正定（$\forall x \not=0,x^TAx>0$）
  • 充要条件：特征值全大于0
  • 充要条件：正惯性系数$p=n$
  • 充要条件：顺序主子式全大于0
  • 充要条件：$A=C^TEC,C$可逆
  • 必要条件：$a_{ii}>0$
  • 必要条件：$\mid A\mid>0$

TH1:任意二次型一定可以转化为标准型
TH2（惯性定理）：二次型无论如何坐标转换，正惯性指数和负惯性指数都不变

矩阵的更多概念

奇异值分解

为什么 如果一个矩阵是实对称矩阵，那么一定可以进行特征分解 $A=Q\Lambda Q^T$

• 其中，$Q$是特征向量组成的正交矩阵，$QQ^T=E$
• $\Lambda$是特征值组成的对角矩阵

是什么 不是所有的矩阵都可以做特征分解，但每个矩阵都可以做奇异值分解（singlar value decomposition）
$A_{m\times n}=U_{m\times m}S_{m\times n}V_{n\times n}^T$

• 其中,U,V是正交矩阵，$UU^T=E, VV^T=E$
• S是对角矩阵

实际上，U,V,D与$A^TA,AA^T$的特征值特征向量有关系。

如何做

• 根据定义，$AA^T=USV^T(USV^T)^T=USS^TU^T=US^2U^T$
• 相同的，$A^TA=VS^2V^T$
• 只要求二次型就行了

伪逆

定义伪逆为 $A^+=\lim\limits_{\alpha \to 0} (A^TA+\alpha I)^{-1} A^T$

计算时，借用这个公式$A^+=VD^+U^T$（其中，$D^+$是D对角线非0元素取倒数，然后转置得到）

另外

• 当A列多于行时，有多个伪逆，但$A^+$是$x=A^+y$方程所有可行解中，$\mid\mid x\mid\mid_2$最小的一个
• 当A行多于列时，可能误解，这种情况下，伪逆得到的x是使$\mid\mid Ax-y\mid\mid_2$最小的

迹

定义$Tr(A)=\sum_i A_{ii}$
可以拿来描述 Frobenius 范数 $\mid\mid A\mid\mid_F=\sqrt{Tr(AA^T)}$

性质：

• $Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)$

题目

由$\alpha\beta^T$是$3\times 3$矩阵，求$\alpha^T\beta$。（答案是对角线之和）