一些定义和符号

符号

• 一个博弈，记为 G
• 参与者，记为 i（i=1,2,…,n）
• 行动：参与者i在做决策时可供选择的动作，记为 $a_i$。行动的集合称为 行动空间 \(A_i = \{ a_i\}\)
• 战略：博弈参与者i在决策时，针对其它参与者所选择的行动做出应对的行动安排，记做 $s_i$，战略空间 记为 \(S_i=\{s_i\}\)
• 收益，参与者 i 在某个战略组合下的效用，记做 $u_i(s_1, s_2, …, s_n)$

如果所有参与者同时选择行动称为 静态博弈（这里的“同时”是信息概念上的，而不是日历时间上的）,战略 $s_i$ 和行动 $a_i$ 是相同的 $s_i$
如果参与者的决策有先后顺序（称为 动态博弈），战略 $s_i$ 与 i 掌握的信息和可供选择的行动 $a_i$有关。

完全信息，指的是 $u_i(s_1, s_2, …, s_n)$ 对于各个参与方 j 来说是共同的知识
如果某个参与者 i 知道一些其它人不知道的信息，称为 不完全信息博弈

完美信息

1. 参与人行动有先后顺序，没有两个人同时行动
2. 后行动者知道先行动者确切选择了什么行动
3. （意味着博弈树上没有哪2个决策点是用虚线连起来的）

一个博弈的战略式表述，各方的战略空间是 $S_1, S_2,…, S_n$，收益函数是 $u_1(s_1, s_2, … , s_n), u_2(s_1, s_2, … , s_n),…, u_n(s_1, s_2, … , s_n)$，一个博弈的战略式表述就是 $(S_1,S_2,…,S_n; u_1,u_2,…,u_n)$

博弈可以分为4个大类：

1. 完全信息的静态博弈：对应纳什均衡
2. 完全信息的动态博弈：对应子博弈精炼纳什均衡
3. 不完全信息的静态博弈：对应贝叶斯纳什均衡
4. 不完全信息的动态博弈：对应精炼贝叶斯纳什均衡

共同知识：指的是“所有参与者知道，并且所有参与者知道别人知道，并且。。。”的知识。

• 例如，在房地产博弈中，所有人的行动集合是共同知识

1. 完全信息的静态博弈

严格占优均衡

【定义】严格占优均衡 对于参与者 i 的某个战略 $s_i^\star$，如果 $\forall s_i’ \not = s_i^\star, \forall s_1,s_2,…s_{i-1}, s_{i+1},…s_n$ 都有 $u_i(s_1,s_2,…,s_{i-1},s_i^\star,s_{i+1}, …, s_n) \gt u_i(s_1,s_2,…,s_{i-1},s_i’,s_{i+1}, …, s_n)$，那么 $s_{i}^\star$ 叫做参与者 i 的严格占优均衡。

注释

• 严格占优均衡未必存在
• 如果 i 有唯一的严格占优均衡，那么可以把博弈转化为 n-1 个参与方的博弈

【例子】囚徒困境：

对于两个人而言，坦白都是占优均衡

逐步剔除的占优均衡

弱劣战略 和 严格劣战略

• 对于 i 来说，$s_i’$ 对应的收益总是小于 $s_i’’$ 对应的收益，那么$s_i’$ 是弱劣战略（这里是“弱劣”，也就是劣于某个战略即可）
• 严格劣指劣于其它所有战略。

【定义】逐步剔除严格劣战略的优势均衡：在一个博弈 G 中，各方不断剔除自身的严格劣战略，最后只剩下唯一的解 $(s_1^\star, s_2^\star, …, s_2^\star)$。
【定义】逐步剔除的占优均衡：各方不断剔除弱劣战略，如果最后的解是唯一的，叫做重复剔除的占优均衡

• 可以证明，如果每次都能剔除严格劣战略，那么最终的均衡解与剔除顺序无关。但如果每次剔除的是相对劣战略，根据剔除步骤不同，最终得到的解可能不同。
• 严格劣战略未必存在，例如“石头、剪刀、步”
• 均衡解的逻辑是这样的：某个人 i 必然不会选择严格劣战略，而这一点又是所有参与者的共同知识

【例子】智猪博弈

• 对于小猪来说，有占优均衡（等待）
• 对于大猪来说，没有占优均衡
• 小猪是理性的，所以一定选择等待；大猪知道小猪是理性的，因此预测小猪一定选择等待；所以大猪一定选择按。

【例子2】

先剔除 R，然后剔除 U，解为UM

【例子3】

这个例子的重复剔除占优均衡是 UL，但这必须要求 A 百分百相信 B 理性，实际实验发现多数 A 都会选择 D

【例子4】

如果把 A 选择U的收益减少2:

这个例子说明，减少了 A 的某种选择空间后，其收益反而增加（UL->DM）

纳什均衡

【定义】纳什均衡 （描述式定义）：这样的一个解，在这个解下，如果 i 选择其它战略，他的收益会降低。

• 纳什均衡可能有多个
• 纳什均衡是为了解决 “逐步剔除占优均衡” 不存在的问题。纳什均衡一定是不能被 “逐步剔除” 的战略

纳什均衡的求法

• 对于有限个战略的情况：对其他人的每个战略，找出 i 收益最大的战略。对每个参与者都做以上操作，最后看看哪些是重合的，就是最后的解。
• 对于无限个战略的情况：根据定义来解。例如 海滩站位博弈、
• 对于可导的情况：联立导数方程组

【例子】Cournot 寡头竞争模型
第 i 个企业的收益函数为 $\pi_i(q_i) = q_i P(\sum q_i) - C_i(q_i)$

纳什均衡的解法：导数为0，联立方程

【例子】Hotelling 价格竞争模型
产品是有差异的，因此价格不是顾客唯一感兴趣的变量。
把产品差异简化为空间上的差异，假设城市是一条线 $[0, 1]$，两家店分别在0点和1点，顾客均匀分布；成本都是c，价格分别是$p_1, p_2$，顾客旅行成本是每单位 $t$

解：

1. 假设顾客选择1和2的分割点是 $x_0$，那么它满足 $p_1 + t x_0 = p_2 + t x_0$
2. 可以得到两家店的需求 $D_1(p_1, p_2) = x_0 = (p_2 - p_1 + t)/(2t), D_2(p_1, p_2) = 1 - x_0 = (p_1 - p_2 + t)/(2t)$
3. 然后列出利润，求导，得到均衡价格 $p_1=p_2=c+t$
4. 对应均衡利润为 $\pi_1=\pi_2=t/2$
5. 结论：产品差异越大（这里是旅行成本越大），均衡价格越高，均衡利润越高，越接近垄断价格。

【例子】公地悲剧
不多写

【例子】公共物品
公共物品的私人自愿供给会导致供给不足。（也就是说，纳什均衡的供给，小于帕累托最优的供给）
当收入分配不均匀时，博弈变成智猪博弈，有钱人是大猪，穷人是小猪。
某些情况下，博弈也可能变成斗鸡博弈

【例子】中央的地方的博弈

混合战略纳什均衡

对于每个参与者，其战略是概论分布。每个参与者找到合适的概论分布，使其收益的期望最大。

纳什均衡存在性定理 一个有限博弈（参与人数量有限、纯战略数量有限）至少存在一个纳什均衡（纯战略或混合战略的）

如果存在多个纳什均衡，博弈论不能保证某一个纳什均衡一定发生。

2. 完全信息的动态博弈

动态博弈中，参与者的行动是有先后顺序的，后行动者在行动之前可以观测到先行动者的行动。

完全信息的动态博弈包含以下六个要素

1. 参与者 i：i=1,2,…,n
2. 参与者的行动顺序
3. 每个参与者在每个行动时，可供选择的行动
4. 每个参与者在每个行动时，了解的信息
5. 博弈结束后，每个参与者的收益函数
6. 外生事件可能出现的状态及其分布律

以“房地产”开发博弈为例

对于B来说，有4种策略：

1. 如果A开发，B开发；如果A不开发，B开发
2. 如果A开发，B开发；如果A不开发，B不开发
3. 如果A开发，B不开发；如果A不开发，B不开发
4. 如果A开发，B不开发；如果A不开发，B开发

于是，可以写成一个博弈矩阵

然后，有3个纳什均衡：

1. 开发，(不开发，开发)
2. 开发，(不开发，不开发)
3. 不开发，(开发，开发)

由此思路，还能引出“混合战略纳什均衡”的概念

定理：一个有限完美信息博弈有一个纯战略纳什均衡

子博弈精炼纳什均衡

“子博弈精炼纳什均衡” 的目的是把动态博弈中的“合理纳什均衡”和“不合理纳什均衡”区分开。什么是“不合理的纳什均衡”？

• 不开发，(开发，开发)，这个纳什均衡中，B威胁说“无论A如何，我都开发”，而 A 相信了这个威胁。但A真的会相信B的这种威胁吗？实际上A先行动，如果A真的选了开发，B显然最优策略是不开发，B也不会实施这个威胁。
• 开发，(不开发，不开发)，这个纳什均衡最后的解虽然与合理解一样，

子博弈 的精确定义不写，就是子博弈本身必须是一个独立、完整的博弈。如果拆开的博弈树与外部的某个节点有虚线连接，就不是一个子博弈（否则信息集就被错误切割了）

子博弈精炼纳什均衡 一个战略组合，满足：

• 它是原博弈的一个纳什均衡
• 它还在每个子博弈上构成纳什均衡

顺理成章想到，解子博弈精炼纳什均衡需要“倒着解”

斯坦科尔伯格双寡头模型

重复博弈

有限次重复博弈

考虑贴现因子的有限次重复博弈

无限次重复博弈

连锁店悖论 设想在位者拥有20家连锁店，他与潜在的进入者博弈。（就是一个20次的重复博弈）。
直观理解下，在位者应该在第一次博弈就全力阻止进入者。
但这个策略不是子博弈精炼纳什均衡。子博弈纳什均衡从第20家店开始向前倒推，发现子博弈精炼纳什均衡是“在位者20次默许进入，进入者20次进入”

解连锁悖论需要引入信息不完全性。
首先，假设一个无穷次博弈，用贴现因子解出（不坦白、不坦白）是一个纳什均衡，只要贴现很大。
（无名氏定理）

3. 不完全信息的静态博弈

至少有一个参与者不完全知道其他参与者的收益函数

海萨尼转换：

• 引入一个参与则“自然”，“自然”先行动，“自然”的收益是无差异的，其它
• 其它方不知道真实情况，只知道其分布。而当事人也知道其它人知道概率分布（也就是说，概率分布是“共同知识”）
• 这就把“不完全信息博弈”转换成了“完全但不完美信息博弈”（不完美指的是，自然做出了选择，但其它参与人并不知道他选择了什么）
• 在此基础上，定义了“贝叶斯纳什均衡”

4. 不完全信息的动态博弈

当事人根据观察到的他人行为来修正自己关于他人的“信念”，并由此选择自己的行为。

参考文献

《博弈论基础-要点注释与题解精编》李光久，江苏大学出版社