代数系统

【定义】代数系统 一个非空集合 A 以及若干定义在它上的运算 $f_1, f_2,…, f_k$ 组成的系统叫做一个代数系统，记为 $<A , f_1, f_2, …, f_k>$

【定义】运算的性质 下面默认指代一个二元运算的代数系统 $(A,\star)$

• 封闭性 $\forall x,y \in A$，有 $x\star y \in A$
• 可交换性 $\forall x,y \in A$，有 $x\star y = y\star x$
• 可结合性 $\forall x,y,z \in A$，有 $(x\star y)\star z = x\star (y\star z)$
• 另外还有可分配性、吸收律、等幂，等等。就不多写了。

【定义】幺元

• 对于 $e_l\in A$，如果有 $\forall x \in A \to e_l\star x \in A$，叫做 $e_l$ 是关于 $\star$ 的 左幺元
• 对于 $e_r\in A$，如果有 $\forall x \in A \to x\star e_r \in A$，叫做 $e_l$ 是关于 $\star$ 的 右幺元

【定理】 如果 $(A,\star)$ 存在左幺元 $e_l$ 和右幺元 $e_r$，那么 $e_l=e_r$ 且 A 上的幺元唯一。
（使用定义证明）

【定义】零元

• 对于 $\theta_l$，如果有 $\forall x\in A \to \theta_l\star x = \theta_l$，叫做 $\theta_l$ 是关于 $\star$ 的 左零元
• 对于 $\theta_r$，如果有 $\forall x\in A \to x \star \theta_r = \theta_r$，叫做 $\theta_r$ 是关于 $\star$ 的 右零元

【定理】 类似幺元，如果左零元和右零元都存在，那么它们相等且零元唯一。（证明方法同上）

【定理】 如果 A 中的元素个数多于1，且幺元 $e$ 和 零元 $\theta$ 都存在，那么 $e \not = \theta$

【定义】逆元 如果$a\star b = e$，称为 a 是 b 的 左逆元，b 是 a 的 右逆元。如果既是左逆元又是右逆元，叫做 逆元
【性质】

• 逆元是相互的：如果 a 是 b 的逆元，那么 b 也是 a 的逆元。
• 一般来说，左逆元未必等于右逆元，有左逆元未必有右逆元，甚至一个元素的左/右逆元未必唯一

半群

【定义】广群 $(S,\star)$ 是一个代数系统，$\star$ 是二元运算，如果 $\star$ 是封闭的，称为 $(S,\star)$ 是一个广群

【定义】半群 $(S,\star)$ 是一个代数系统，$\star$ 是二元运算，如果满足以下条件，称为 $(S,\star)$ 是一个半群:

1. $\star$ 是封闭的，
2. $\star$ 是可结合的，也就是说 $(x\star y)\star z = x \star (y \star z)$

【定理1】 如果 $(S,\star)$ 是一个半群，且$B\subseteq S$，且 $\star$ 对 B 封闭，那么，$(B,\star)$ 也是一个半群

【定理2】 $(S,\star)$ 是一个半群，且 $S$ 是一个有限集，那么 $\exists a \to a \star a = a$
证明过程稍微绕：

1. S 是有限的，所以存在 $i<j$ 使得 $a^i = a^j$
2. 两边同时乘以 $a^{i(j-i)-i}$
3. 左边 = $a^{i(j-i)}$，右边 = $a^{j-i} a^{i(j-i)}$
4. 令 $b = a^{i(j-i)}$，就有这个结论：$b=a^{j-i}b$
5. 上式使用i次，得到 $b = a^{i(j-j)}b$ ，也就是 $b=b\star b$，就证完了

【定义】独异点 含有幺元的半群称为独异点

【定理3】 $(S,\star)$ 是一个独异点，那么，$\star$ 的运算表中，没有不可能有相同的两行或两列。
证明：

1. 假设有相同的两列，也就是说 $\forall x \in S \to x\star b_1 = x\star b_2$
2. 令 $x=e$，有 $b_1 = b_2$，他们是同一列

【定理4】 $(S,\star)$ 是一个独异点，如果 $a,b\in S$ 有逆元，那么

1. $(a^{-1})^{-1} = a$
2. $(a\star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$

群和子群

【定义】群 $(G,\star)$ 是一个代数系统，且 $G$ 非空，且 $\star$ 是一个二元运算，如果满足以下条件，那么叫做 $(G, \star)$ 是一个群

1. 运算 $\star$ 是封闭的。也就是说
   $\forall x,y \in X$，有，$x \star y \in X$
2. 运算 $\star$ 是可结合的。，也就是说
   $\forall x,y,z \in X$，有，$(x \star y) \star z = x \star (y \star z)$
3. 存在幺元。也就是说
   $\exists e \in X$，使得$\forall x \in X,e \star x=x \star e=x$
4. $\forall x\in G$，都存在逆元 $x^{-1}$

如果 G 是有限集，那么叫做 $(G, \star)$ 是一个 有限群。
如果 G 是无限集，那么叫做 $(G, \star)$ 是一个 无限群。

【例子】

• 整数对加法 $(Z,+)$ 是一个群，其幺元为 0
• 整数对除法 $(Z,/)$ 不是一个群，因为运算不封闭

下面一系列定理描述群是什么样的。

【定理1】 群中不存在零元。
（用定义证就行了）

【定理2】 对于 $a,b \in G$，必然存在且唯一 $x\in G$，使得 $a\star x = b$
证明：根据前面的结论，a 的逆元必然存在 $a^{-1}$

【定理3】消去律 如果 $a\star b = a \star c$，则有 $b=c$；如果 $b\star a = c\star a$ 则有 $b=c$

【定义】子群 $(G,\star)$ 是一个群，$S\subseteq G$，且 S 非空，如果 $(S,\star)$ 也是一个群，那么称为 $(S,\star)$ 是 $(G,\star)$ 的一个子群

【定理3】：子群中的幺元也是群中的幺元。

【定理4】：$(G,\star)$ 是一个群，B 是 G 的一个非空子集，且 B 是一个有限集。如果 $\star$ 在 B 上封闭，那么 $(B,\star)$ 是子群。
证明：和上一章的定理2类似，也处理有限集。难点是证明纯在幺元。

1. b 是 B 内任意元素， B 是有限的，所以存在 $i<j$ 使得 $b^i = b^j$，也就是 $b^i = b^i b^{j-i}$，也就是说 幺元是 $b^{j-i}$，它必然在 B 内
2. $e = b^{j-i} = b\star b^{j-i-1}$，所以每个 b 都有对应的逆元 $b^{j-i-1}$

【定理5】：$(G,\star)$ 是一个群，S 是 G 的一个非空子集，如果 $\forall a,b \in S$，有 $a\star b^{-1} \in S$，那么 $(S,\star)$ 是子群。
证明：

1. 存在幺元。$e = a\star a^{-1} \in S$
2. 每个元素都有逆元。 令 a = e ，得到 $b^{-1}\in S$
3. 封闭性。对于 $a,b\in S$，根据 2 有 $b^{-1} \in S$。所以 $a\star b = a\star (b^{-1})^{-1} \in S$
4. 可结合性不用证

阿贝尔群

【定义】阿贝尔群 一个群 $(G,\star)$ 中的 $\star$ 是可交换的，那么这个群就是阿贝尔群

【定理1】：一个群 $(G, \star)$ 是阿贝尔群的充要条件是 $(a\star b) \star (a\star b) = (a\star a) \star (b\star b)$

【定义】循环群：一个群$(G,\star)$ 中存在一个元素 $a$，使得 G 中的任意元素都是 a 的幂，称为循环群，a 称为循环群的生成元

【定理2】：循环群必是阿贝尔群。

同态和同构

在 线性空间 中讨论过线性空间的同态和同构，这里推广到代数系统上

【定义】同态 $(A,\star), (B, *)$ 是两个代数系统，f 是 A 到 B 的一个映射，使得对于任意 $a_1,a_2 \in A$，有 $f(a_1\star a_2) = f(a_1) * f(a_2)$，称为：

• f 是 $(A,\star)$ 到 $(B, *)$ 的同态映射，
• 也可以记做 $A\sim B$

【定义】同构 如果 f 是满射，叫做 满同态；如果是一一映射，叫做 同构 记做 $A \cong B$

• 同构的概念很重要，如果两个代数系统同构，从本质上可以看成是同一个代数系统，只是所用符号不同。
• 同构的逆仍然是一个同构

【定理1】 同构是一个等价关系。
根据定义很容易证明

【定理2】 f 是 $(A,\star)$ 到 $(B, *)$ 的同态映射

• 如果 $(A,\star)$ 是半群，那么 $(f(a), \star)$ 也是半群
• 如果 $(A,\star)$ 是独异点，那么 $(f(a), \star)$ 也是独异点
• 如果 $(A,\star)$ 是群，那么 $(f(a), \star)$ 也是群

【定义】同态核 f 是 $(A,\star)$ 到 $(B, *)$ 的同态映射，e 是 B 的幺元，$\mathrm{Ker}(f) = { x\in A\mid f(x)=e }$ 叫做同态核。

• 【定理1】 $(\mathrm{Ker}(f), \star)$ 是 $(A,\star)$ 的子群。（用定义证明）

环和域

【定义】环： $(A,+,\cdot)$ 是一个代数系统，如果满足以下条件，那么 叫做 $(A,+,\cdot)$ 是一个环

• $(A,+)$ 是阿贝尔群
• $(A,\cdot)$ 是半群
• 运算遵守可分配律：$a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c$，以及 $(b+c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a$

例子

• 关于 x 的实系数多项式的集合，关于多项式的加法和乘法构成一个环
• n阶实矩阵关于矩阵加法和矩阵乘法构成一个环

【定理1】： $(A, +, \cdot)$ 是一个环，那么有以下结论（其中，$\theta$ 是加法幺元，$a-b$定义为 $a+(-b)$）

• $a \cdot \theta = \theta \cdot a = \theta$
• $a \cdot (-b) = (-a) \cdot b = - (a\cdot b)$
• $a\cdot(b-c) = a\cdot b - a\cdot c$

【定义】 上面的定义中，如果 $(A,\cdot)$ 可交换，那么称为 $(A, +, \cdot)$ 是一个 可交换环。如果 $(A,\cdot)$ 含有幺元，那么称为 $(A, +, \cdot)$ 是一个 含幺环。

【定义】域 $(A,+,\cdot)$ 是一个代数系统，如果满足以下条件，那么 叫做 $(A,+,\cdot)$ 是一个域

• $(A,+)$ 是阿贝尔群
• $(A-\{ \theta \},\cdot)$ 是阿贝尔群
• $\cdot$ 对 + 满足分配率，也就是说$x\cdot (y+z)= x \cdot y +x \cdot z$

举例：

• $(Q,+,\cdot)$是一个域，其中 Q 代表有理数集/实数集/复数集
• p-adic numbers, p 进制数，也就是整数集对 p 取 mod
• Finite Field（Galois Field）
  • 素数的幂取模
  • 可以实现加减乘除，从而可以实现线性代数的一些操作

参考文献

《离散数学》上海科学技术出版社，左孝凌