• Code: https://facebook.github.io/prophet/
• Prophet paper: Sean J. Taylor, Benjamin Letham (2018) Forecasting at scale. The American Statistician 72(1):37-45 (https://facebook.github.io/prophet/).
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前言

时间序列预测可以用于 capacity planning, goal setting, and anomaly detection，所以挺重要，这篇论文提出了一个模型。

business forecast有两种主要方法

• completely automatic forecasting techniques 缺点是不灵活，且不能加入专家知识。
• analysts 往往缺乏 series forecasting 方面的知识

正文

核心公式还是加法公式

$y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+\epsilon_t$

• g是趋势性
• s是周期性（周、年等）
• h是holiday，特点是不规律，可能持续一天或数天

模型优点

• Flexibility:可以轻松调整周期和趋势
• 不需要均匀采样（对比ARIMA）
• 拟合较快
• 每个参数都有意义，都可理解

3.1 趋势项

3.1.1 Nonlinear, Saturating Growth

$g(t)=\dfrac{C}{1+\exp(-k(t-m))}$

模型进行如下改进：

capacity C 是变化的（例如FaceBook的用户数量，上限是网民人数，但网民人数在变化）替换为$C(T)$

增长率k也是变化的。原文用了3个式子去描述，就不摘抄了。描述一下就是，增长率是分段的，然后为了函数连续，m也需要分段进行调整。

3.1.2 Linear Trend with Changepoints

就是一个线性模型 $g(t)=kt+m$，然后用上面写的方法进行分段。

3.1.3 寻找分割点

上文涉及到分割点，如何计算呢：

• 分析师根据经验去定义。
• 按月按年等，等分
• 随机选取分割间隔，分割间隔服从拉普拉斯分布$\delta_j\sim Laplace(0,\tau)$

3.2 Seasonality

$s(t)=\sum\limits_{n=1}^N (a_n cos(\dfrac{2\pi nt}{P})+b_n sin(\dfrac{2\pi nt}{P}))$

P = 365.25 for yearly data or P = 7 for weekly data

先定义一个N，然后拟合 $a_i,b_i$ (共2N个)
可以使用AIC准则来计算N

3.3 Holidays and Events

For each holiday i, let $D_i$ be the set of past and future dates for that holiday. 例如，用1代表圣诞节，2代表感恩节…，那么$D_1$就是圣诞节集合，$D_2$是感恩节集合。

如果总共L种节日，那么$Z(t)$是L阶向量
$Z(t)=[1(t\in D_1),…,1(t\in D_L)]$

原文没写太清楚，但$h(t)$应该是$Z(t)$的各元素加权和，权重就是待解参数。

3.4 Model Fitting

周期项和节日项产生了多维feature，类似多维回归，优化算法选择L-BFGS

3.5 分析师的作用

• Capacities
• Changepoints
• seasonality
• Holidays
• smoothing parameter

我的理解

1. 整个模型实际上还是时间序列分析中的加法模型，
2. 加法每一项都做了巧妙但不难的设计，保证一定的复杂度的同时，可解释性、可操作性都极强。
3. 很漂亮的模型。