概率论测试1
概率论
- ★☆☆☆☆ 1. 扔 10000 次硬币，其中最长一次连续正面的次数大约会是多少？
- A. 100
- B. 13
- C. 9
- D. 4
- ★★☆☆☆ 2. 你拿 10 块钱去赌博赚大小，你有两种玩法，一种是每次赌 10 块，一种是每次赌 1 块。你决定在胜率都为 50% 且共赌 100 块钱时离场，则：
- A. 两种方法输光的概率一样
- B. 第一种输光的概率较大
- C. 第二种输光的概率较大
- ★★☆☆☆ 3. 有以下几个国家，每个国家有自己的习俗，问哪个国家长期以后男人最多：
- A. 每个家庭不断生孩子直到得到第一个男孩为止
- B. 每个家庭不断生孩子直到得到第一个女孩为止
- C. 每个家庭不断生孩子直到得到一男一女为止
- D. 以上几个国家最后男女比例基本一样
- ★★★☆☆ 4. 如果有 3 个门，有一个背后有大奖。你选中一个门，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的门。现在你有一次换门的机会，你应该：
- A. 换
- B. 不换
- C. 换不换都一样
- ★★★☆☆ 5. 假设考试在周一到周日 7 个礼拜（周一到周日），且考试时间均匀分布，假使你有 3 门考试，则最后一门考试大多在：
- A. 周四
- B. 周五
- C. 周六
- D. 周日
- ★★★★☆ 6. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你输了 100 把却赢了 10000 块（你自己并不清楚极端事件），假设你知道赌博是发生在极端事件的情形下，那么你觉得你下次可能是因为：
- A. 有一把赢了好多
- B. 一直在慢慢赢钱
- C. 两种情况都有可能
- ★★★★☆ 7. 台湾选总统，假设马英九最终得到 600000 票，谢长廷得到 400000 票，如果一张一张地唱票，则过程中过马英九一直领先谢长廷的概率为：
- A. 0.1
- B. 0.2
- C. 0.3
- D. 0.4
- ★★★★☆ 8. 实验室测试灯泡的寿命。在灯泡坏掉的时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为 1 小时，考察 10000 小时时亮着的那个灯泡：
- A. 那个灯泡的寿命期望也约为 1 小时
- B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的 2 倍
- C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的 1/2
- D. 以上说法都不对
- ★★★★★ 9. 以下事件情形发生的期望时间最短：
- A. 在第 0 秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率 1/2 向左走，1/2 向右走，第一次回到原点的时间
- B. 一只猴子，每种种随便按键盘上的一个键，第一次打出 “Beijing Welcomes You” 的时间
- C. 在第 0 秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率 1/2 向左走，1/2 向右走，第一次到达 1 的时间
- ★★★★★ 10. 如果一个物体在 3 维随机行游动，也即每一刻他可以向左、右、上、下、前、后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况？
- A. 此物体无穷多次回到原点
- B. 此物体不会无穷多次回到任一条坐标轴上
- C. 此物体无穷多次回到任一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点
概率论测试2
三门问题
问题不多说，换门后赢的概率是 2/3，不换门赢的概率是 1/3
程序模拟如下：
解法1:做实验
import numpy as np
def strategy1(choosen, reveal):
# 策略1：玩家不改变选择
return choosen
def strategy2(choosen, reveal):
# 策略2：玩家改变选择
return list({0, 1, 2} - {choosen, reveal})[0]
def officer(right_answer, choosen):
# 主持人：随机排除一个选项
can_reveal = list({0, 1, 2} - {right_answer, choosen})
np.random.shuffle(can_reveal)
return can_reveal[0]
win_cnt, lose_cnt = 0, 0
num_experiment = 10000
for i in range(num_experiment):
right_answer = np.random.randint(0, 3)
choosen = np.random.randint(0, 3)
reveal = officer(right_answer, choosen)
choosen = strategy1(choosen, reveal)
if choosen == right_answer:
win_cnt += 1
else:
lose_cnt += 1
print(win_cnt / (win_cnt + lose_cnt))
解法2:直觉角度 如果你换门，本质上选择的是两扇门：
- 当前选择的门，概率 1/3
- 两个门的组合，并且其中一扇门被排除，概率是2/3
1
某饭店每日营业额的分布是右偏的，均值2500，标准差400.
从过去5年的每天营业额中，随机抽取100天，并计算平均营业额。这个营业额的分布是？
接近正态分布，均值2500，标准差40
2
10个人随机进入15个房间，X个房间有人，X的期望是多少？
第i个房间有/无人记为$X_i$(0-1分布)，
$P(X_i=1)=1-(14/15)^{10}$，
所以…
答案是7.476
3
独立随机变量$X,Y$服从参数为$\lambda_1, \lambda_2$的随机变量，求$E(X\mid X+Y=n)$
解体思路：
- 条件期望的定义$E(X\mid X+Y=n)=\sum_x x P(X=x\mid X+Y=n)=\sum_x x (P(X=x,Y=y))/P(X+Y=n)$
- 分母：X+Y也服从泊松分布，概率可以写出
- 分子：因为相互独立，所以可以写出
- 【关键步骤】：化简后，发现是二项分布求期望的公式
答案：$n\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$
4
一枚硬币，正面朝上概率为p. 连续抛掷，直到第一次正面朝上。求抛掷次数的期望。
这题很多解法：
- 几何分布，数字特征可以背下来
- 用定义，解一个数列的和
- 亮点解法，下面写:
记Y是第一次抛掷情况，N是抛掷次数。
$EN=E(N\mid Y=1)P(Y=1)+E(N\mid Y=0)P(Y=0)$
根据常识，观察到$E(N\mid Y=1)=1,E(N\mid Y=0)=1+EN$ 解出$EN=1/p$
5：关于假设检验
你在做正态总体均值的假设检验检验，H0:u=u0, H1:u≠u0,
实验结果$\bar X =$u0，那么()
不可能拒绝原假设
你在做正态总体均值的假设检验检验，H0:u≤u0, H1:u＞u0,
实验结果$\bar X<$u0，那么()
不可能拒绝原假设，但有可能犯第二类错误
6：关于第一类错误和第二类错误
某种小麦亩产250，标准差6。现在品种改良，抽取25亩，发现平均亩产提高20.
那么建立假设检验 H0:u≤250
问，当u=270时，不犯第二类错误的概率是
答案是$\Phi(15.02)$，这题绕了好几个弯弯
ANOVA
与t检验相比，ANOVA可以使犯第一类错误的概率（？？）
答案是降低。ANOVA可以：
- 提高检验效率
- 同时使用所有的样本信息，增加可靠性。
- 使用t检验，假设一次t检验的第一类错误概率是$\alpha$，那么n次就是 $1-(1-\alpha)^n$
回归
对数据 $(X_i,Y_i)$ 做回归。
如果X是自变量，参数是$\beta_{YX}$。 如果X是因变量，参数是$\beta_{XY}$
如果$r=\rho_{X,Y}$是相关系数，那么 $\beta_{YX}$ 和 $\beta_{XY}$ 的关系是？？？
答案是 $\beta_{YX} \beta_{XY} = r^2$
(推导容易，但如果没见过这个结论，很容易觉得他俩是倒数关系)
