拉普拉斯变换的概念
傅里叶分析有两个改进方向：
- 提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换，小波变换
- 扩大适用范围，如$\delta$函数,拉普拉斯变换
引入$\delta$函数后，傅里叶变换适用范围扩宽了很多，使得很多“缓增”函数也能进行傅里叶变换，但对于指数级增长仍然无能为力。傅里叶变换要求在整个实轴上有定义，但工程上一般不满足这个假设。拉普拉斯变换既具有傅里叶变换的性质，也克服了上述局限性。
$f(t)$是定义在$[0,+\infty)$的实值函数，
如果对于复参数$s=\beta+iw$,积分$F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$在s的某一个域内存在，则称$F(s)$是$f(t)$的 拉普拉斯变换 ，$f(t)$是$F(s)$的 拉普拉斯逆变换
分别记做$F(s)=\mathscr L[f(t)],f(t)=\mathscr L^{-1}[F(s)]$
性质
与傅里叶变换之间的关系
$\mathscr L [f(t)]=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-\beta t}e^{-iwt}dt$
$=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)u(t)e^{-\beta t}e^{-iwt}dt$
$=\mathscr F[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$
其中，
- $u(t)$是阶跃函数，保证了对$(-\infty,0)$部分补0
- $e^{-\beta t}$形象理解为“降低”$f(t)$的增长速度
存在性定理
如果$f(t)$满足：
a) 在$t\geq 0$的任何区间上分段连续
b）当$t\to+\infty$时，$f(t)$具有有限的增长性，即存在常数$M>0,c\geq 0$，使得$\mid f(t)\mid\leq Me^{ct}(0\leq t<+\infty)$
那么，
$F(s)=\mathscr L[f(t)]$在半平面$s>c$上一定存在且解析
参考文献
张筑生：数学分析新讲
李红：《复变函数与积分变换》高等教育出版社
“十五”国家规划教材《复变函数与积分变换》高等教育出版社
钟玉泉：《复变函数论》高等教育出版社
