数学模型

原型（Prototype）是现实世界的实际对象。
模型（Model）是将原型的某一部分信息提炼而构成的替代物。

模型可以如下分类：

• 物质模型
  • 直观模型：供展览的实物模型，如照片、玩具，追求外观逼真。
  • 物理模型：不仅可以显示外观，也可以用于进行模拟实验，如波浪水箱中的舰艇模型、风洞中的飞机模型等。
• 理想模型
  • 思维模型：以经验的形式存储于人脑的知识，如技工的手艺、领导者的决策。缺点是模糊性、片面性、主观性、偶然性，难以对其假设条件进行检验，不便于沟通交流。
  • 符号模型：一些约定下的符号线条的组合。如地图、电路图、化学结构式。
  • 数学模型

数学模型的分类

• 机理分析：反应内部机理的数学规律
• 测试分析：将研究对象看做“黑箱”，对系统的输入、输出进行分析，找到最好的拟合模型。

许多实际问题会将两者结合起来，例如，用机理分析建模，用测试分析求参。

1. 建模示例

1. 已知能在不平的地面上放稳吗
   （用连续性证明）
2. 商人们怎样安全过河：3个商人带3个随从，小船最多容纳2人。河岸上随从比商人多，就杀人越货。
3. 如何预报人口增长
   （用指数函数拟合，加入阻滞因素后变成Logistics函数）

2. 初等模型

1. 公平席位分配。
   3个班（200人）选20个代表，四舍五入带来不公平的问题。
   最后引入评价算法的一套原则：（1）最终每个班的席位分配数量，是均值的入或者舍。（2）当席位总数多1时，所有班的席位数量都不下降。
2. 录像计数器。
   老式磁带的计数器是记录转速的，但播放是基于线速度的。由于录像带厚度不一致，导致线速度和角速度不是一个固定比例。由此引出一系列类似单位换算的问题。
3. 双层玻璃的功效
   假设热量传导速度与温差成正比，与厚度成反比。证明双层玻璃效果较好。
4. 汽车刹车距离
   高中物理
5. 划艇比赛成绩（机理分析+测试分析的例子）
   先对速度、功率、体重、宽度之间的关系做一系列假设，从而得到成绩的函数。从实际成绩数据拟合参数。
6. 动物的体重和身长
   四次方关系
7. 实物交换
   帕累托盒子
8. 核军备竞赛
   博弈论的知识。找到两国共同的安全区域。模型解释给出疏散

3. 简单优化模型

1. 库存模型
   运筹学研究的东西，不详细解释
2. 生猪出售时机
   随着养生猪的时间增加，成本也增加，同时体重增加导致单价下降。由此得到一个最优的出栏时间。
3. 森林救火
   增加开支G可以增加消防员人数、提高设备效果、提高反应速度，从而增加灭火速度。而火势蔓延速度与边缘长度成正比。从而建立总支出+火灾损失的函数，自变量是t和G，对t积分后求最优的G
4. 最优价格
   经济学研究的东西
5. 血管分支角度
   假设
   • 消耗能量分为两部分，一部分是流动的阻力，一部分是血管细胞的消耗。计算能量消耗最低的角度。
   • 粗血管分支为2个细血管，血管共面，形成‘Y’状。‘Y’状的长度和宽度给定。
6. 消费者的选择
   效用函数
7. 冰山运输
   不同的拖船的速度、功率、费用不同，求最大性价比的选择。

4. 优化模型

1. 奶企的生产和优化
   两种加工机器，求最大利润，约束是工人工时和设备加工能力。
   附加问题（其实是灵敏度分析）：原料降价到某个值，是否值得购买，每天最多购买多少？若可以聘用临时工，最多开出多少工资？如果市场变化，某个产品价格提高，是否改变生产计划？
2. 自来水运输与货机装运
   多点配送问题

5. 微分方程模型

传染病模型

模型1:（最简单的模型）
新感染的人数与已经感染的人数成正比
$\dfrac{d x}{d t}=\lambda x,x(0)=x_0$

模型2：（SI模型）
总人口不变，分为 易感人群(susceptible) 和 已感人群(infactive)
总人口为$N$,易感人群占比$s(t)$,已感人群占比$i(t)$, 接触感染率为$\lambda$
$\dfrac{d Ni}{d t}=\lambda Nsi,i(0)=i_0,s+i=1$
解出来是logistics函数 $i(t)=\dfrac{1}{1+(1/i_0-1)e^{-\lambda t}}$

模型3：（SIS模型）
在SI的前提下附加一个假设：病人治愈后变成健康者，健康者还可以再次被感染（无论有没有治愈，感染难度一样）
治愈率为$u$
$\dfrac{d Ni}{d t}=\lambda Nsi-uNi,i(0)=i_0,s+i=1$
解出来是这样的$\dfrac{\lambda -u}{((\lambda-u)/i_0-\lambda)e^{(u-\lambda)t}+\lambda}$

模型4：（SIR模型）
在SI前提下附加一个假设：传染病人治愈后无法再得病
N=s+i+r,其中$r(t)$为 移出者（remover）
\(\left\{\begin{array}{l} s+i+r=1\\ \dfrac{dr}{dt}=ui\\ \dfrac{di}{dt}=\lambda si-ui\\ \dfrac{ds}{dt}=-\lambda si\\ \end{array}\right.\)
(其实是3个方程)

经济增长模型

宏观经济学

正规战和游击战

假设
双方兵力$x(t),y(t)$
双方战斗减员速度$f(x,y),g(x,y)$
双方非战斗减员速度$a_0x,b_0y$
双方增员速度$u(t),v(t)$

所以，
\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt}=-f(x,y)-a_0x+u(t)\\ \dfrac{dy}{dt}=-g(x,y)-b_0y+v(t) \end{array}\right.\)

双方都是正规战
战斗减员只与对方的兵力有关，$f(x,y)=a_1y,g(x,y)=b_1x$
（更详细的解释是，$a_1=r_xp_x$,其中，$r_x$是每个士兵单位时间的射击率，$p_x$是每次射击的击中率）
不考虑非战斗减员，解为$a_1y^2-b_1x^2=a_1y_0^2-b_1x_0^2$(可以尝试画一下)
$\dfrac{y_0^2}{x_0^2}>\dfrac{r_xp_x}{r_yp_y}$（平方律模型）

双方都是游击战
双方都看不见对方，所以向一个区域射击，$f(x,y)=a_2xy,g(x,y)=b_2xy$
$a_2=r_x\dfrac{s_{ry}}{s_x}$后面一个比例是y单人单次射击的有效范围与x单人单次的活动面积的比例
不考虑战斗减员，解为$y=\dfrac{b_2}{a_2}+y_0-\dfrac{b_2}{a_2}x_0$
$\dfrac{y_0}{x_0}>\dfrac{r_xs_{rx}s_x}{r_ys_{ry}s_y}$(线性律模型)

一方游击，一方正规 。。。

药动力学

这里只研究 二室模型
每个室的变化速度，与两个室的药物浓度有关。1号室有向外排除药物的速度。
从上述描述建立偏微分方程组。

快速静脉注射
在$t=0$瞬间使药物浓度达到一定水平
恒速静脉滴注
以恒定速度给1室输入药物 口服或肌肉注射
除了二室外，外加一个吸收室

最后的参数估计使用了最小二乘法。

香烟过滤嘴

毒物有3个去处，被香烟后面的部分吸收、被过滤嘴吸收、散发到空气。
其中，被香烟后面吸收的部分，会随着点燃再次分为3个去处。

人口预测

$F(r,t)$表示t时刻，年龄小于r的人口数量（人口分布函数）
$p(r,t)=\dfrac{\partial F}{\partial r}$表示t时刻,r年龄的人口数量（人口密度函数）
$u(r,t)$为r年龄t时刻的死亡率
考虑(r,r+\Delta r)这部分人口在(t,t+\delta t)这个时间段内的死亡数量
一方面，死亡数量为$updrdt$
另一方面，死亡数量为$p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr=-[p(r+dt,t+dt)-p(r,t+dt)]dr-[p(r,t+dt)-p(r,t)]dr$
$=p_r(r,t)dtdr+p_t dtdr$
得到偏微分方程$p_r+p_t=up$
边界条件1：知道t=0时的人口分布$p(r,0)=p_0(r)$
边界条件2：知道婴儿出生率$p(0,t)=f(t)$

模型改进1：稳定的环境下，通常死亡率u与时间t无关
模型改进2：$f(t)$实际上与$p$有关，还与女性比例、生育模式有关。

烟雾的扩散

稳定性模型

有些需求往往无需使用微分方程，而是更关注稳定点的情况。
有一下案例：

1. 捕鱼业持续收获最大模型

概率模型

不确定性的来源有3种：

1. 被建模系统本身的内在随机性。例如量子力学的量子，本身有随机性。纸牌也认为是随机顺序。
2. 不完全观测。例如，Monty Hall问题。
3. 不完全建模。舍弃某些信息，导致模型的不确定性。例如预测动物是否会飞，“多数鸟会飞”往往比“除了XXX之外”更具有鲁棒性。