基本定义

几何空间既可以看做所有点构成的几何，也可以看做所有以O为起点的所有向量构成的集合
是一种三维的线性空间（定义加法和数乘，并满足8条规则，见于上一篇博客）
因此任找$d_1,d_2,d_3$作为基，任取一点$O$,便可以定义一个 仿射坐标系 $[O;d_1,d_2,d_3]$

向量的积

叉乘

叉乘的定义
\(a×b=\det\begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\)

叉乘的性质

• $\mid a \times b\mid=\mid a\mid\mid b \mid sin<a,b>$
• 反交换律： a×b= -b×a
• 加法的分配律： a× (b+c) =a×b+a×c
• 与标量乘法兼容： (ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
• 不满足结合律，但满足雅可比恒等式： a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
• 分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
• 两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0
• 拉格朗日公式（非常有用） $(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)$
  $a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b)$
  微分算子不成立

混合积

（可以记为$[a b c],(a,b,c),(abc)$这三种形式）

混合积的定义
$(a,b,c)=(a\times b)\cdot c$

混合积的性质

• \((a,b,c)=\left | \begin{array}{ccc} x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c\\ \end{array}\right |\)
  证明方法：\((a,b,c)=a\cdot (b\times c)=(x_a \vec i+y_a \vec j +z_a \vec k)( \left |\begin{array}{cc}y_b&z_b\\y_c&z_c \end{array}\right| \vec i +\left |\begin{array}{cc}x_b&z_b\\x_c&z_c \end{array}\right| \vec j +\left |\begin{array}{cc}x_b&z_b\\x_c&z_c \end{array}\right| \vec k )\)
• $(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)$（可以用上一条性质导出）
  所以混合积也可以定义为$(a,b,c)=(a\times b)\cdot c=a\cdot (a\times b)$
• $(a,b,c)$任意两个向量交换位置，前面加个负号
• $(a,b,c)$的值是对应的平行六面体的 体积。对应，$\mid a\times b\mid$的值是平行四边形的 面积

平面上的曲线

1. 摆线：圆在直线上滚动，圆上一点的轨迹
   \(\left \{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin \theta)\\ y=a(1-cos \theta) \end{array}\right.\)
2. 内摆线：小圆在大圆内滚动，小圆上一点的轨迹
3. 渐伸线：一根线绕圆上，拉紧解开，其中一点的轨迹
   \(\left \{ \begin{array}{l} x=R(\cos \theta+\theta\sin \theta)\\ y=R(\sin \theta-\theta cos \theta) \end{array}\right.\)

二次曲线

$F(x,y):=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}$

TH
\(\left \{ \begin{array}{l} F(x,y)=0\\ x=x_0+Xt\\ y=y_0+Yt \end{array}\right. \to \Phi(X,Y)t^2+[F_1(x_0,y_0)+F_2(x_0,y_0)Y]t+F(x_0,y_0)= 0\)

• 如果$\Phi(X,Y)=0$，渐进方向
• 如果$\Phi(X,Y)\neq 0$
  • 如果$F_1(x_0,y_0)X+F_2(x_0,y_0)Y=0$，那么$(x_0,y_0)$是中心
  • 考察\(\left\{ \begin{array}{l}F_1(x_0,y_0)=0\\F_2(x_0,y_0)=0\end{array}\right.\)
    • 有唯一解：有中心
    • 有无穷多解：有无穷多中心组成线性
    • 无解：无中心

平面的方程

1. 混合积形式
   \((\vec r -\vec r_0,\vec a,\vec b)=0\)
2. 点位式 \((a,b,c)=\left | \begin{array}{ccc} x-x_r&y-y_r&z-z_r\\ x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ \end{array}\right |\)
3. 三点式 \((a,b,c)=\left | \begin{array}{cccc} x&y&z&1\\ x_a&y_a&z_a&1\\ x_b&y_b&z_b&1\\ x_c&y_c&z_c&1\\ \end{array}\right |=0\)
4. 点法式 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)$

直线方程

1. 参数式
   \(\left \{ \begin{array}{l} x=x_0+At\\ y=y_0+Bt\\ z=z_0+Ct \end{array}\right.\)
2. 标准式
   $\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$
3. 一般式
   \(\left\{ \begin{array}{l} F_1(x,y,z)=0\\ F_2(x,y,z)=0\\ \end{array}\right.\)

球面

1. 普通方程 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$
2. 参数方程 \(\left\{ \begin{array}{l} x=R\cos\theta\cos\psi\\ y=R\cos\theta\sin\psi\\ z=R\sin\theta \end{array}\right.,-\pi/2\leq \theta \leq \pi/2,-\pi <\psi\leq\pi\)
   $\theta,\psi$称为球面上的 曲纹坐标

旋转曲面

旋转曲面

一条曲线$\Gamma$绕一条直线$l$旋转所得的曲线称为旋转面。

母线

$\Gamma$叫做 母线

轴

$l$是 轴

纬圆

$\Gamma$上任意一点$M_0$绕$l$旋转，可以得到一个圆，叫做 纬圆
(TH)纬圆与l垂直

经线(子午线)

过l的半平面与旋转曲面的交线叫做 经线
母线不一定是经线。

\(\left\{ \begin{array}{ll} \Gamma:& \left\{ \begin{array}{l} F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0 \end{array}\right.\\ l:&\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C} \end{array}\right. \to \left\{ \begin{array}{ll} \Gamma:& \left\{ \begin{array}{l} F_1(x_1,y_1,z_1)=0\\F_2(x_1,y_1,z_1)=0 \end{array}\right.\\ weixian:& \left\{ \begin{array}{l} A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0\\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \end{array}\right.\\ \end{array}\right. \to\) 消去$x_1,y_1,z_1$

应用1：旋转抛物面

\(\left\{ \begin{array}{ll} \Gamma:& \left\{ \begin{array}{l} y^2=2pz\\x=0 \end{array}\right.\\ l:&\dfrac{x}{0}=\dfrac{y}{0}=\dfrac{z}{1} \end{array}\right.\)
方程为$x^2+y^2=2pz$

应用2:沿着另一条轴旋转

。。。

柱面方程

柱面

一条直线$l$沿着一条空间曲线C平行移动所形成的面称为 柱面
其中$l$是 母线 ，C是 准线

\(\left.\begin{array}{ll} l:&\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}\\ C:&\left\{\begin{array}{c} F_1(x_0,y_0,z_0)=0\\ F_2(x_0,y_0,z_0)=0 \end{array}\right. \end{array}\right\}\)，消去$x_0,y_0,z_0$

应用1：圆柱面

母线是圆，$l\perp C$
按上面的方法计算，方程是$x^2+y^2=R^2$

类似的，准线还可以是抛物线、双曲线等。

锥面方程

锥面

定点$M_0$ 与曲线 $C$ 的连线组成的面称为 锥面
$M_0$是 顶点 ，C是 准线

\(\left.\begin{array}{l} (x_0,y_0,z_0)\\ \left\{\begin{array}{c} F_1(x_1,y_1,z_1)=0\\ F_2(x_1,y_1,z_1)=0 \end{array}\right. \end{array}\right\} \to \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0}=\dfrac{y-y_0}{y_1-y_0}=\dfrac{z-z_0}{z_1-z_0}\\ F_1(x_1,y_1,z_1)=0\\ F_2(x_1,y_1,z_1)=0 \end{array}\right. \to\) 消去$x_1,y_1,z_1$

应用1：圆锥面

二次曲面

可以证明，二次曲面只有17种
椭球类
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$表示 椭球面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=-1$表示 虚椭球面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=0$表示 点

双曲面类
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$表示 单叶双曲面，$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$是这个双曲面的渐进锥面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$表示 双叶双曲面

抛物面类
$\dfrac{x^2}{p}+\dfrac{y^2}{q}=2z,(p>0,q>0)$表示 椭圆抛物面
$\dfrac{x^2}{p}-\dfrac{y^2}{q}=2z,(p>0,q>0)$表示 双曲抛物面

锥面类
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$表示 二次锥面

柱面类
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$表示 椭圆柱面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=-1$表示 虚椭圆柱面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0$表示 直线
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$表示 双曲柱面
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0$表示 一对相交平面
$x^2=2py$表示 抛物柱面
$x^2=a^2$表示 一对平行平面
$x^2=-a^2$表示 一对虚平行平面
$x^2=0$表示 一对重合平面

直纹面

直纹面

一个曲面S称为直纹面，如果存在一族直线，使得这一族中的每一条直线全在S上，并且S上的每个点都在这一族的某一条直线上，这样的一族直线称为S的一族直母线。

17个二次曲面中，哪些是直纹面呢？
显然，柱面类（9种）和锥面类（1种）是直纹面
椭球类（3种）不是直纹面
双叶双曲面，椭圆抛物面不是直纹面
单页双曲面，双曲抛物面是直纹面

参考文献

丘维声《解析几何》（北京大学出版社）