DEA方法

数据包络分析（DEA） 是用线性规划方法去计算工作单位效率的一种方法。

已有数据：
K个工厂，需要I种资源，产出J种产品
全部K个工厂的输入和产出都已知。第k个工厂一段时间内输入的资源$x_{ki},i=1,2,…I$，产出$y_{kj},j=1,2,…,J$，

目标：
考核 $k_i$ 工厂的效率

$\min E(w_1,…,w_K)$
s.t. $\sum \limits_{k=1}^K w_k=1$ (1)
$w_{k}\geq 0,\forall k=1,2,…,K$ (2)
$\sum\limits_{k=1}^Kw_k y_{kj}\geq E y_{k_0 j},j=1,…,J$（3）
$\sum\limits_{k=1}^Kw_k x_{ki}\geq x_{k_0 i},j=1,2,…I$（4）

模型解释：
把K个工厂进行线性组合，组合成一个虚拟工厂，这个工厂有资源输入和产出产品，所以定义权重之和1，并且所有权重为正。这就是(1)和（2）的条件
虚拟工厂的输入资源，应当多于要考察的工厂$k_0$
虚拟工厂的输出资源，一定大于等于要考察的工厂，最多能大多少(E的最小值)，就可以成为考察效率的指标。

模型性质
最优的$E^* $一定满足$E^* \leq 1$（这是因为，k0工厂的权重设为1，那么虚拟工厂的输入和输出一定等于k0工厂）。
$E^* $越小，代表工厂效率越低。

决策分析

下面是收益矩阵，其中di是策略，si是自然状态，

乐观法（optimistic approach）：先找到每种选择各自对应的最大可能收益，看看哪种选择的最大收益最大

第一步：

第二步：选择d3作为最优策略

悲观法（conservative approach）：找到每种选择各自对应的最小可能收益，看看哪种选择的最小收益最大

第一步：

第二步：选择d1作为最优策略

最大最小后悔法（minimax regret approach）

我们这么定义“后悔值”：每种选择在每种状态下的“机会成本”，例如，d1在s1下的机会成本，就是s1下的最优策略收益，减去d1的收益 $20-8=12$
计算每个策略下的最大后悔值，然后选出最小的那个

第一步：计算“后悔值”

第二步：计算每个策略下的最大后悔值

第三部：选取最小后悔值，也就是 d2 作为最佳策略

已知概率：看期望

参考资料

施光燕：《最优化方法》，高等教育出版社
龚纯：《Matlab最优化计算》，电子工业出版社
David R. Anderson ：《数据、模型与决策–管理科学篇》，机械工业出版社