统计时序的基本概念
定义
- 随机序列
- 按时间排序与的一组随机变量
$…, X_1, X_2, …, X_t,…$ - 观察值序列
- $x_1, x_2, …, x_t$
我们的目的是 通过观察值序列，去推断随机序列的性质 。
概率分布族
$F_{t_1,t_2,…,t_m}(x_1,x_2,…,x_m)$
特征统计量
均值$u_t=EX_t=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF_t(x)$
方差$DX_t=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-u_t)dF_t(x)$
自协方差$\gamma(t,s)=E(X_t-u_t)(X_s-u_s)$
自相关系数$\rho(t,s)=\dfrac{\gamma(t,s)}{\sqrt{DX_t DX_s}}$
方法性工具
1. 差分算子
一阶差分 $\nabla x_t=x_t-x_{t-1}$
p阶差分 $\nabla^p x_t=\nabla^{p-1} x_t-\nabla^{p-1} x_{t-1}$
k步差分 $\nabla_k=x_t-x_{t-k}$
2. 延迟算子
相当于把当前序列值得时间向过去拨了1个时刻 $x_{t-p}=B^p x_t$,
例如，$x_{t-1}=Bx_t,x_{t-2}=B^2x_t,$
$\nabla^1 x_t=(1-B)x_t,\nabla^2x_t=(1-B)^2 x_t$
2-1. 延迟算子的性质
$B^0=1$
$B(cx_t)=cBx_t$
$B(x_t+y_t)=Bx_t+By_t$
$B^n x_t=x_{t-n}$
$(1-B)^n=\sum(-1)^n C_n^iB^i$
$\nabla^p x_t=(1-B)^px_t$
$\nabla_k x_t=(1-B^k)x_t$
3. 线性差分方程
- 线性差分方程
- $z_t+a_1z_1+a_2z_2+…+a_pz_p=h(t)$
- 齐次线性差分方程
- $z_t+a_1z_{t-1}+a_2z_{t-2}+…+a_pz_{t-p}=0$
3-1. 解齐次线性差分方程
step1：特征方程: $\lambda^p+a_1\lambda^{p-1}+a_2\lambda^{p-2}+…+a_p=0$
step2：特征方程的根称为特征根，记为$\lambda_1,\lambda_2,…\lambda_p$
step3：齐次差分方程的通解为：
不相等的实数根：$z_t=c_1\lambda_1^t+c_2\lambda_2+…+c_p\lambda_p^t$
有相等的实数根：$z_t=(c_1+c_2t+…+c_dt^{d-1})\lambda_1^t+c_{d+1}^t+…+c_p\lambda_p^t$
复根：$z_t=r^t(c_1e^{itw}+c_2e^{-itw})+c_3\lambda_3^t+…+c_p\lambda_p^t$
3-2. 解非齐次线性差分方程
求非齐次线性差分方程的任意特解$z_t’’$
求齐次线性差分方程的通解$z_t’$
非齐次线性差分方程的通解为$z_t=z_t’‘+z_t’$
参考资料
小象学院-时间序列分析
易丹辉《统计预测：方法与应用》，人民大学出版社
庞皓《计量经济学》，科学出版社（十二五规划教材）
赵国庆《计量经济学》，中国人民大学出版社（十一五规划教材）
