线性映射

线性映射的概念

线性映射(linear mapping)

U,V是数域F上的线性空间，且$ \mathscr A:U\to V $ 是映射，如果该映射满足以下两条，那么这个映射是 线性映射：

1. $ \forall a_1,a_2\in U,\mathscr A(a_1+a_2)=\mathscr A(a_1)+\mathscr A(a_2) $
2. $ \forall a\in U,\lambda \in F,\mathscr A(\lambda a)=\lambda\mathscr A(a) $

线性变换(linear transformation)

如果$ \mathscr A:V\to V $是线性映射，叫做 线性变换

以下是线性映射的一些例子：

1. $\mathscr A: F^{n\times 1} \to F^{m\times 1}$，这种情况下，一定可以用矩阵乘法实现$\mathscr A: X \to AX$（TH）
2. V是F上的线性空间，$a_1,a_2,…,a_n \in V,\mathscr A: F^{n\times 1} \to V,(x_1,x_2,…,x_n)\to x_1a_1+x_2a_2+…+x_na_n$是线性映射（注意，可能是多对一映射）
3. V是F上的线性空间，$a_1,a_2,…,a_n \in V$是一组基,$\mathscr A: V \to F^{n\times 1}, x_1a_1+x_2a_2+…+x_na_n \to (x_1,x_2,…,x_n)$ 是线性映射
4. 线性映射 和 同态映射 是同一个概念，其中 可逆的 线性映射 是 同构映射
5. $n>m,\mathscr A:F^n \to F^m,(x_1,…,x_m,…,x_n)\to (x_1,…,x_m)$是线性映射叫做 投影（projection），$n>m,\mathscr A:F^m \to F^n,(x_1,…,x_m)\to (x_1,…,x_m,0,…,0)$是线性映射叫做 嵌入（embedding）
6. 多项式求导数的操作是线性变换
7. $P\in F^{m\times m},Q\in F^{n\times n}, \mathscr A F^{m\times n}\to F^{m\times n},X\to PXQ$是线性变换

TH
可逆的线性变换把直线映射成直线，直线段映射成直线段，平行线映射成平行线
把0向量映射到0向量，负向量映射到负向量
$a_1,a_2,…,a_n$线性相关，则$\mathscr A (a_1),\mathscr A (a_2),…,\mathscr A (a_n)$线性相关
$\mathscr A (a_1),\mathscr A (a_2),…,\mathscr A (a_n)$线性无关，则$a_1,a_2,…,a_n$线性无关

线性映射的矩阵

U,V是F上的有限维线性空间，基分别是$M1=(a_1,a_2,…,a_n),M2=(b_1,b_2,…,b_m)$
$\forall a\in U,b\in V$
有线性映射$\mathscr A: U\to V$

显然$\exists A_j,\mathscr A(a_j)=(b_1,b_2,…,b_m)A_j$
那么$\mathscr A(a_1,a_2,…,a_n)=(b_1,b_2,…,b_m)A$
这里的A称作 $\mathscr A$在基$M_1,M_2$下的矩阵（matrix of $\mathscr A$ with respect to bases $M_1,M_2$）

$\forall a \in U,b=\mathscr A(a)\in V$，a,b都可以用各自空间中的基线性表示，
我们知道\(a=(a_1,a_2,...,a_n)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\...\\x_n \end{array}\right),b=(b_1,b_2,...,b_n)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\...\\y_n \end{array}\right)\)
就有这个结论：
\(\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\...\\y_n \end{array}\right)=A \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\...\\x_n \end{array}\right)\)

TH
U,V是F上的线性空间，$M=(a_1,a_2,…,a_n)$是U的一组基,且U是n维的，$(b_1,b_2,…,b_n)$是V上的任意n个向量，那么存在唯一的线性映射$\mathscr A:U\to V$,将$a_1,a_2,…,a_n$映射到$b_1,b_2,…,b_n$

推论：U,V是F上的线性空间,且U是n维的，$M=(a_1,a_2,…,a_k)$是U的一组线性无关向量，$(b_1,b_2,…,b_n)$是V上的任意k个向量，那么，

1. 如果k=n存在唯一的线性映射$\mathscr A:U\to V$,将$a_1,a_2,…,a_n$映射到$b_1,b_2,…,b_n$
2. 如果k<n,$\mathscr A$不唯一

更宏观的视角

U,V分别是数域F上的的n维和m维线性空间。把U到V的全体线性映射记做$L(U,V)$，那么
$L(U,V)$与$F^{m\times n}$有一个一一对应关系。

进一步地，在$L(U,V)$上定义一些运算

1. $\mathscr{A+B}:U\to V,a\to \mathscr{A(a)+B(a)}$
2. $\lambda\mathscr A:U\to V,a\to\lambda \mathscr A(a)$

显然，满足线性空间的8个基本定理，是 线性空间

而且，根据上面的讨论，$L(U,V)$与$F^{m\times n}$同构

除此之外，还可以定义 线性映射的乘法
$\mathscr A:U\to V,\mathscr B:V\to W$
那么定义乘法$\mathscr{BA}:U\to W,a\to \mathscr{B(A(a))}$

坐标变换

线性映射的矩阵定理推导过程中，涉及到同一向量在同一空间的不同基下的坐标关系，
$M_1,M_2$是V的两个基，$M_2=M_1 P$，某个向量在两组基下的坐标分别是$X_1,X_2$，那么$X_2=X_1P^{-1}$

像与核

U,V是数域F上的线性空间，$\mathscr A:U\to V$是 线性映射
那么,
集合$\mathscr A (U)$叫做$\mathscr A$的 像(image)，或者 值域（range），记做$\mathrm{Im} \mathscr A$
集合$\mathscr A^{-1}(0)$叫做$\mathscr A$的 核(kernel)，记做$\mathrm{Ker} \mathscr A$
记$rank\mathscr A=\dim \mathrm{Im} \mathscr A$

TH

• $\mathrm{Im} \mathscr A$是V的 子空间 ，$\mathrm{Ker} \mathscr A$是U的 子空间
• $\dim U=\dim \mathrm{Im} \mathscr A+\dim \mathrm{Ker} \mathscr A$

TH
$A\in F^{m\times n}$是$\mathscr A:U\to V$在任意一对基下的矩阵，
那么，
$rank A = rank \mathscr A$
如果\(V_A=\{X\in F^n \mid AX=0\}\),那么$\dim V_A=\dim \mathrm{Ker} \mathscr A$
证明提要：
记$\sigma_1:U\to F^m,\sigma_2:V\to F^n$,都是同构映射
记A的各列是$A_j$,那么，
就有\(\sigma_2(\mathrm{Im} \{AX\mid X\in F^n\})=\{\sum x_i A_i \mid x_i\in F\}=V(A_1,...,A_n)\),根据 同构 的性质，得出第一个结论
\(\sigma_1(\mathrm{Ker}\mathscr A)=\{X\in F^n\mid AX=0\}=V_A\)

单射和满射（概念复习）

$\sigma:S_1\to S_2$单射意思是:$\sigma(a)=\sigma(b)\Rightarrow a=b$
满射的意思是$\sigma(S_1)=S_2$
既是单射又是满射的映射叫做可逆映射（一一映射）

TH
对于线性映射$\mathscr A$,是单射的充分必要条件是$\mathrm{Ker} \mathscr A=0$

TH
对于线性映射$\mathscr A:U\to V$,$\mathscr A$是可逆映射的充分必要条件是一下任意两个条件成立：

1. $\dim U=\dim V=n$
2. $\mathrm{Ker}\mathscr{A}=0$
3. $\mathrm{Im}\mathscr{A}=V$

线性变换

前面写了，$\mathscr A:V\to V$这样的线性映射，叫做 线性变换

还是先看线性映射，假如$\mathscr A:U\to V$，U下有两组基$M_1,M_2$,V下有两组基$N_1,N_2$
假设$\mathscr A$在基$M_1,N_1$下的矩阵是A，在基$M_2,N_2$下的矩阵为B
$M_1,N_1$的过渡矩阵为P，$M_2,N_2$的过渡矩阵为Q， 那么，
$B=Q^{-1}AP$

线性映射中，$U=V,M_1=N_1,M_2=N_2$, 就有，
$B=P^{-1}AP$
这个关系叫做 相似(similiar)

TH
$A,B\in F^{m\times n}$相似当且仅当他们是同一线性空间V在同一线性变换下两组基的的矩阵。
相似有以下性质：

• 反身性
• 对称性
• 传递性

特征值

上面知道，$\mathscr A:V\to V$ 在不同的基下对应不同的矩阵，这些矩阵相似。
那么，有没有合适的基，使得在这组基下的矩阵尽量简单呢？
最简单的矩阵是对角阵，问题变成A能否对角化。
这就引入特征值和特征向量的概念。

特征子空间

特征子空间(eigensubspace)

$\lambda_0\in F$是矩阵$A\in F^{m\times n}$的特征值，
那么，\(V_{\lambda_0}=\{X\in F \mid (A-\lambda_0 I)X=0\}\)是$F^m$的 子空间，叫做A从属于$\lambda_0$的 特征子空间
$\lambda_0\in F$是$\mathscr A:V\to V$的特征值， 那么，\(V_{\lambda_0}=\{a\in V \mid \mathscr A(a)=\lambda_0 a\}=\mathrm{Ker}(\mathscr A-\lambda_0 \mathscr I)\)

TH

1. $\mathscr A:V\to V$从属于不同特征值$\lambda_i$的特征子空间的和是直和

几何重数(geometric multiplicity)，代数重数

$\mathscr A$从属于$\lambda_i$的特征子空间$V_{\lambda_i}$，其维度叫做 几何重数
特征多项式$\phi_{\mathscr A}(\lambda_i)$的重数叫做 代数重数

TH

• 几何重数不多于代数重数
• 可对角化的充要条件是，每个特征值的 代数重数 等于 几何重数

参考文献

李尚志《线性代数》