平稳性的定义

严平稳过程

定义：
${Y_t}$是一个严格随机过程，如果$\forall n,h,$
$F_{Y_{t_1},Y_{t_2},…,Y_{t_n}}(Y_1,…,Y_n)=F_{Y_{t_1+h},Y_{t_2+h},…,Y_{t_n+h}}(Y_1,…,Y_n)$

宽平稳过程

指的是${Y_t}$的期望、方差、协方差不随时间推移而变化
定义：
${Y_t}$是一个随机过程，如果$\forall t $
$E(Y_t)=u$
$Var(Y_t)=\sigma^2$
$Cov(Y_t,Y_s)=Cov(Y_{t+h},Y_{s+h})=\gamma_{t-s}$
那么${Y_t}$是一个 宽平稳随机过程

自相关系数性质

• 规范性，$\mid\rho\mid\leq1$
• 对称性，$\rho_k=\rho_{-k}$
• 非负定性，自相关矩阵非负定
• 非唯一性，平稳序列对应唯一的自相关系数，自相关系数对应多个平稳过程
  这给我们建模有诸多挑战

严平稳与宽平稳的关系

• 在时间序列中讨论的平稳，通常指弱平稳
• 如果低阶距存在，那么严平稳过程能推出宽平稳成立
• 如果服从多元正态分布，那么宽平稳可以推出严平稳

如果低阶距不存在，那么严平稳不能推出宽平稳。
例如柯西分布

平稳性的意义

1. 多个随机变量，但每个随机变量只有1个样本。（需要用观察值序列推断）
2. 平稳性可以极大减少随机变量的个数，增加待估变量的样本容量。例如，如果序列平稳，那么可以 用全部观察值去估计均值、方差 。
3. 减少分析难度，提高精度。

伪回归的根本原因在于时间序列的非平稳性。
用传统方法对彼此不相关的非平稳变量进行回归，那么t检验和F检验往往倾向于显著

平稳性的检验

时序图

画图，图形在某个常数值附近随机波动，波动范围有界、无趋势、无周期，说明序列平稳。

自相关图

自相关系数很快衰减到0，说明序列平稳。
如果自相关系数一直很高，或者自相关系数出现周期性，或者自相关系数先递减后递增，说明序列不平稳。

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
plot_acf(ts, lags=31, ax=ax1)

详细内容看这里

除了看图外，statsmodels.tsa.stattools.acf可以方便地给出有关统计量, 官方文档

statsmodels.tsa.stattools.acf(x, unbiased=False, nlags=40, qstat=False, fft=False, alpha=None, missing='none')[source]
# x : array,Time series data

# unbiased : bool, If True, then denominators for autocovariance are n-k, otherwise n

# nlags: int, optional, Number of lags to return autocorrelation for.

# qstat : bool, optional If True, returns the Ljung-Box q statistic for each autocorrelation coefficient. See q_stat for more information.

# fft : bool, optional. If True, computes the ACF via FFT.

# alpha : scalar, optional. If a number is given, the confidence intervals for the given level are returned.

# missing : str, optional. A string in [‘none’, ‘raise’, ‘conservative’, ‘drop’] specifying how the NaNs are to be treated.

DF检验

Dickey-Fuller（DF），Augmented Dickey-Fuller test（ADF）

DF检验有三种形式：
$y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$
$y_t=\alpha+\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$
$y_t=\alpha+\delta t+\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$

如果$\mid \rho \mid<1$，序列$y_t$是平稳的
如果$\mid \rho \mid=1$，序列$y_t$是非平稳的，但一阶差分是平稳的。
如果$\mid \rho \mid>1$，序列$y_t$是发散的

step1:建立假设
H0：$\rho =1$
H1：$\mid \rho \mid<1$

step2：进行t检验

通常用这样的检验方程：
$\Delta y_t=\gamma y_{t-1}+\varepsilon_t$
$\Delta y_t=\alpha+\gamma y_{t-1}+\varepsilon_t$
$\Delta y_t=\alpha+\delta t+\gamma y_{t-1}+\varepsilon_t$

问题转化为检验$\gamma=0$

ADF检验

DF检验只适合一阶自相关的情况。也就是假设$\varepsilon_t$没有自相关性，但实际数据大多不满足此假设，所以改进到ADF检验
ADF（augmented Dickey-Fuller test,增广的迪基-福勒检验法）检验适合高阶自相关的情况

ADF检验的三种基本模型： $\Delta y_t=\gamma y_{t-1}+u_t$
$\Delta y_t=\alpha+\gamma y_{t-1}+u_t$
$\Delta y_t=\alpha+\delta t+\gamma y_{t-1}+u_t$
其中$u_t$是一个平稳过程，允许$u_t$存在自相关性，如此ADF检验变为如下形式：

$\Delta y_t=\gamma y_{t-1}+\sum\limits_{i=1}^l \beta_i \Delta y_{t-i}+\varepsilon_t$
$\Delta y_t=\alpha+\gamma y_{t-1}+\sum\limits_{i=1}^l \beta_i \Delta y_{t-i}+\varepsilon_t$
$\Delta y_t=\alpha+\delta t+\gamma y_{t-1}+\sum\limits_{i=1}^l \beta_i \Delta y_{t-i}+\varepsilon_t$

白噪声过程

满足两个性质：

1. $EX_t=u,\forall t\in T$
2. \(\gamma(t,s)=\left \{ \begin{array}{ccc} \sigma^2,t=s\\ 0, t\neq s \end{array}\right.\),$\forall t,s \in T$

显然，白噪声过程是平稳过程。

白噪声过程的性质

1. 纯随机性

$\forall k\neq 0,\gamma(k)\neq 0$

2. 方差齐性

$DX_t=\gamma(0)=0$
根据马尔科夫定理，只有方差齐性时，用OLS得到的参数估计值才是准确的、有效的。

白噪声的检验

1. 检验原理

Barlett定理：
如果$X_t$是白噪声过程，\(\{ x_t \}\)是观察期数为n的观察序列，$\hat\rho_k$是观察序列的自相关系数，
那么$\hat\rho_k\dot\sim N(0,1/n),\forall k\neq 0$
(近似服从正态分布，是因为期数有限)

推论： $\sum\limits_{k=1}^n n \hat\rho_k^2 \sim \chi^2(n)$

2. 假设

序列是白噪声过程，$H_0: \rho_1=\rho_2=…=\rho_m=0,\forall m\geq 1$
(因为期数有限，所以只计算前m个相关系数)

3. 构造统计量

• Q统计量
  $Q=n\sum\limits_{k=1}^m \hat\rho_k^2 \sim \chi^2(n)$
• LB统计量
  $LB=n(n+2)\sum\limits_{k=1}^m (\dfrac{\hat\rho_k^2}{n-k})\sim\chi^2(m)$
  (对于小样本的表现也良好)
  Ljung-Box q statistic

4. 判别原则

$p<\alpha$,证明可以拒绝原假设，认为不是白噪声过程

代码实现见于上文acf，只需要设定qstat=True