不定积分求解

\[\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \\[7pt] \int x^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\ (\mu\neq-1) \\[7pt] \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\[7pt] \int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\[7pt] \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\[7pt] \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C \\[7pt] \int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\[7pt] \int\tan x\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\[7pt] \int\cot x\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\[7pt] \int\csc x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \ln{\mid\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\mid}+C=\ln{\mid\tan{\frac{x}{2}}\mid}+C=\ln{\mid\csc{x}-\cot{x}\mid}+C \\[7pt] \int\sec x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \ln{\mid\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\mid}+C=\ln{\mid\sec{x}+\tan{x}\mid}+C \\[7pt] \int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\[7pt] \int \csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\[7pt] \int \sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\[7pt] \int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\[7pt] \int \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\[7pt] \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\[7pt] \int \sinh x\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\[7pt] \int \cosh x\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\[7pt] \int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\[7pt] \int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \mid\frac{a+x}{a-x}\mid+C \\[7pt] \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\[7pt] \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln \mid x+\sqrt{x^2\pm a^2}\mid+C\]

第一类换元法

三角函数之积的积分

• 一般地,对于$ \sin^{2k+1}x\cos^n x $ 或 $ \sin^n x \cos^{2k+1}x $ (其中$ k\in\mathbb{N} $)型函数的积分,总可依次作变换 $ u=\cos x $ 或 $ u=\sin x $ ,从而求得结果
• 一般地,对于$ \sin^{2k}x\cos^{2l}x $ 或 (其中$ k,l\in \mathbb{N} $)型函数的积分,总是利用降幂公式$ \sin^2=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x), \cos^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x) $化成$ \cos 2x $的多项式 ,从而求得结果
• 一般地,对于$ \tan^{n}x\sec^{2k} x $ 或$ \tan^{2k-1} x \sec^{n}x $ (其中$ n,k\in\mathbb{N}_{+} $)型函数的积分,总可依次作变换 $ u=\tan x $或$ u=\sec x $ ,从而求得结果

常见的凑微分类型
\(\int {f( ax + b){\rm{d}}x = }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a \neq 0)} \\[7pt] \int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a(m + 1)}\int {f(a{x^{m + 1}} + b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\[7pt] \int {f\left( \frac{1}{x}\right) \frac{\rm{d}x}{x^2}} = - \int {f\left( \frac{1}{x}\right) {\rm{d}}\left( \frac{\rm{1}}{x}\right) } \\[7pt] \int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\ln x){\rm{d(}}\ln x)} \\[7pt] \int {f({\mathrm{e}^x})} {\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int {f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\[7pt] \int {f(\sqrt x } )\frac{\rm{d}x}{\sqrt x } = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\[7pt] \int {f(\sin x)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\[7pt] \int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\[7pt] \int {f(\tan x){\sec^2}} x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\[7pt] \int {f(\cot x){\csc^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cot x){\rm{d}}\cot x} \\[7pt] \int {f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt {1 - x^2} }} {\rm{d}}x = \int {f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\[7pt] \int {f(\arctan x)\frac{1}{1 + x^2}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\[7pt] \int {\frac{f'(x)}{f(x)}} {\rm{d}}x = \int {\frac{\rm{d}f(x)}{f(x)}} = \ln \mid f(x)\mid + C\)

换元法

三种

• 三角换元
  • 出现 $a^2-x^2$，令 $x=a\sin t$ 得到 $a^2-x^2=a^2\cos^2 t$
  • 出现 $x^2+a^2$，令 $x=a\tan t$ 得到 $x^2+a^2=a^2\sec^2 t$
  • 出现 $x^2-a^2$，令 $x=a\sec t$ 得到 $x^2-a^2=a^2\tan^2 t$
• 倒数换元 $x=1/t$ 或者 $x=1/t^n$ 或者 $x=t^n$
• 直接替换复杂项

有理函数的积分

$\frac{P(x)}{Q(x)}$ 其中P和Q都是实多项式。

• Q一定可以因式分解为最高二次的实多项式的
• 然后可以化为数个简单的分式，分母最多2次，分子最多1次。
• 然后各部分套公式

三角函数 $I_n =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x$
得到迭代式 $I_n =\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

• 当n是偶数 $\dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{n - 3}{n - 2} \cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3},I_1=1$
• 当n是奇数 $\dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{n - 3}{n - 2} \cdots \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2},I_0=\dfrac{\pi}{2}$

分部积分

口诀：反对幂指三

https://www.zhihu.com/question/29319155/answer/1433338416

定积分求导

$F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt$，
那么$F’(x)=h’(x)f[h(x)]-g’(x)f[g(x)]$

可微的性质

TH1： 若$\dfrac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y}$和$\dfrac{\partial^2Z}{\partial y \partial x}$都连续，那么$\dfrac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^2Z}{\partial y \partial x}$

TH2： 若偏导数连续，那么可微

TH3： 若可微，那么：

• 偏导数存在
• 函数连续
• 所有方向导数都存在

Def1：

• 全增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
• 全微分$d z=A\Delta x+B\Delta y$

极值

极值的必要条件

如果：

• 点a附近有定义，且在点a可微
• 在a点取极值

那么：
$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}=0, \space i=1,2,…m$

证明提示：

1. $f(a+h)-f(a)=\sum A_i h_i +o(\mid\mid h\mid\mid)$
2. $h_i=A_i \varepsilon$

极值的充分条件

如果：

• 有连续的二阶偏导
• $z=f(x,y)$连续
• $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$

那么：

• 如果$B^2<AC$，那么有极值
  • $A>0$有极小值
  • $A<0$有极大值
• 如果$B^2=AC$，那么无法判断是否有极值
• 如果$B^2>AC$，那么无极值

充分条件的推广

（连续可微：各偏导数连续，所以可微，叫做连续可微）
多元函数$f(x)$在a点二阶连续可微，如果在a点取极值，那么：

$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}=0, \space i=1,2,…m$(用泰勒公式的一阶展开)

然后用泰勒公式的二阶展开，并且使一阶项为0：
$f(a+h)-f(a)=0.5(h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+…+h_m\dfrac{\partial}{\partial x_m})^2 f(a) +o(\mid\mid h\mid \mid^2)$
=$0.5\sum\limits_{i,j=1}^m A_{ij}h_i h_j+o(\mid\mid h\mid \mid^2)$
(其中$A_{ij}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial y_j}(a)$)

上式是一个二次型(二次型正定的充分必要条件时系数方阵上所有的顺序主子式都大于0)
事实上，可以定义 Hasse矩阵 ：
$H_f(a)=(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a))_ {m \times m}$

综上， f在a点所有的一阶偏导数为0，那么：

• 如果Hasse矩阵正定，那么在a点取严格极小值。
• 如果Hasse矩阵负定，那么在a点取严格极大值。

拉普拉斯算子

二维拉普拉斯算子定义：
$\Delta =\dfrac{\partial^2 }{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 }{\partial y^2}$

对$u=ln 1/r $计算$\Delta u$, 这里$r=\sqrt{x^2+y^2}$

答案：0

三维拉普拉斯算子定义: $\Delta =\dfrac{\partial^2 }{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 }{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 }{\partial z^2}$

对$u=1/r $计算$\Delta u$, 这里$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

答案：0

泰勒公式

\[f(x)= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n] \\[7pt] f(x)= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]

常用泰勒公式 \(\mathrm{e}^{x} =1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n}) \\[7pt] \ln(x+1) =x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^{n}+o(x^{n})\)

令 $n=2m$ 有, \(\sin x =x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{120}x^{5}+\cdots+(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}x^{2m-1}+o(x^{2m}) \\[7pt] \cos x =1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots+(-1)^m \frac{1}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m+1}) \\[7pt] \tan x =x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots+o(x^{2m-1}) \\[7pt] \arcsin x =x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots+o(x^{2m}) \\[7pt] \frac{1}{1-x} =1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n) \\[7pt] (1+x)^{\alpha} =\sum_{i=0}^{n}\frac{\prod_{j=0}^{i-1}{(\alpha-j})}{i!}x^n+o(x^n) \\[7pt] \alpha^x =\sum_{i=0}^{n}\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n)\)

多元泰勒公式

$\phi(t) = f(x+th,y+tk)$
那么：$\phi^{(n)}(t)=(h \dfrac{\partial}{\partial x}+k\dfrac{\partial}{\partial x})^n f(x+th,y+tk)$

推广：
$\phi(t)=f(x+th)=f(x_1+th_1,x_2+th_2,…,x_m+th_m)$
那么：$\phi^{(n)}(t)=(h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+h_2\dfrac{\partial}{\partial x_2}+….+h_m\dfrac{\partial}{\partial x_m})^n f(x+th)$

多元泰勒公式：

f是n+1阶连续可微的函数，那么
$f(a+h)=\sum_{p=0}^n \dfrac{1}{p!}(h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+…+h_m\dfrac{\partial}{\partial x_m})^p f(a)+R_{n+1}$

拉格朗日余项$R_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!} (h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+…+h_m\dfrac{\partial}{\partial x_m})^{(n+1)}f(a+\theta h) \space (0<\theta<1)$
积分余项$R_{n+1}=\dfrac{1}{n!}\int_0^1(1-t)^n (h_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+…+h_m\dfrac{\partial}{\partial x_m})^{(n+1)}f(a+th) d t$
皮亚诺余项$R_{n+1}=o(\mid\mid h\mid\mid^n)$

向量函数

定义

$\vec r=f_1 \vec i +f_2 \vec j +f_3 \vec k $

• $\vec r$有极限$\Leftrightarrow f_1,f_2,f_3$有极限
• $\vec r$连续$\Leftrightarrow f_1,f_2,f_3$连续
• $\vec r$可导$\Leftrightarrow f_1,f_2,f_3$可导

性质

• $[\vec u(t) \vec v(t)]’=\vec u’ \vec v+\vec u \vec v’$
• $(\vec u \times \vec v)’=\vec u’ \times \vec v+\vec u \times \vec v’$
• $[\vec u (\phi(t))]’=\vec u’ \phi$

曲线的切向量

• \(\left \{ \begin{array}{ccc} x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{array}\right.\)的切向量是$(x’,y’,z’)$

• \(\left \{ \begin{array}{ccc} y=y(x)\\z=z(x) \end{array}\right.\)可以转化为参数形式

• 隐式 \(\left \{ \begin{array}{ccc} F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{array}\right.\)

Def:nabla 算子 $\nabla =\vec i \dfrac{\partial}{\partial x} +\vec j \dfrac{\partial}{\partial y} +\vec k \dfrac{\partial}{\partial z}$

把参数形式代入隐式中，得到： \(\left \{ \begin{array}{ccc} \nabla F_{P_0} \cdot \vec r=0\\ \nabla G_{P_0} \cdot \vec r=0 \end{array}\right.\)

求出$\vec r$的平行线了：
$\vec r(t) // \nabla F_{P_0} \times \nabla G_{P_0}$ 这就是隐函数的切向量

曲面的切平面与法线

• $F(x,y,z)=0$的法向量是$(F_x,F_y,F_z)$

曲线的曲率和挠率

• 曲率描述曲线弯曲的程度
• 挠率描述曲线偏离平面的程度

曲率的定义式
$K=\mid \dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\mid $

由定义式我们可以推得：

• 直角坐标 $y=y(x)$ 的曲率是 $K=\frac{\mid y’’ \mid}{( 1+y^{‘2} )^{3/2}}$
• 参数方程 $x=\varphi(t),y=\psi(t)$ 的曲率是 $K=\frac{\mid \varphi’(t)\psi’‘(t)-\varphi’‘(t)\psi’(t)\mid}{[ \varphi^{‘2}(t) +\psi^{‘2}(t) ]^{3/2}}$
• 极坐标 有曲率表达式 $K=\frac{\mid r^2+2r^{‘2}-r\cdot r’‘\mid}{(r^2+r^{‘2})^{3/2}}$

曲线在对应点 $M(x,y)$ 的曲率中心 $D(\alpha,\beta)$ 的坐标为： \(\left \{ \begin{array}{l} \alpha=x-\displaystyle\frac{y'(1+y^{'2})^3}{y^{''2}} \\ \beta=y+\displaystyle\frac{1+y^{'2}}{y''} \end{array}\right.\)

曲线的渐近线

1. 若 $\lim\limits_{ x\rightarrow \infty }f(x)=b$ ,则称 $y=b$ 为曲线 $f(x)$ 的 水平渐近线
2. 若 $\lim\limits_{ x\rightarrow x_0 }f(x)=\infty$ ,则称 $x=x_0$ 为曲线 $f(x)$ 的 垂直渐近线
3. 若 $\lim\limits_{ x\rightarrow \infty }[f(x)-(ax+b)]=0$ ,其中 \(\begin{cases} a=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} \\[7pt] b=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-ax] \end{cases}\) ，则称 $y=ax+b$ 为曲线 $f(x)$ 的 斜渐近线

场论

方向导数和梯度

方向导数

$\dfrac{\partial f}{\partial l}=\lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{f(x_0+tcos \alpha ,y_0+tcos \beta) -f(x_0,y_0)}{t}=f_x cos \alpha +f_y cos \beta$

梯度

$grad[f(x_0,y_0)] =f_x \vec{i} + f_y \vec{j}$

• 相互关系: $\dfrac{\partial f}{\partial l}=grad(f) \vec{e}_l$

通量和散度

通量

单位时间通过某个曲面的量
$\iint\limits_\Sigma \vec A \vec n d S$ $\vec A$是一个场，$\vec n$是曲面$\sum$的法向量

散度

规定曲面封闭，曲面缩小成一个点，就可以定义这个点的强度
$div \vec A (M)=\lim\limits_{\Omega \to M}\dfrac{1}{V} \iint_\Sigma \vec A \vec n dS$(要加个圈表示闭曲面上的积分)

散度为正，表示向外膨胀（如辐射粒子）。
散度为负，表示向内搜索（如黑洞）
散度还有个等价定义$div F=\nabla \cdot F = \dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}$

环流和旋度

环流

$\oint_\Gamma \vec A \vec \tau dl$
$\vec \tau$是曲线l的切线方向。

旋度

$\lim\limits_{\sum \to M}\dfrac{1}{S} \oint_\Gamma \vec A \vec \tau dl$
$\sum$是封闭曲面$\Gamma$围成的区域，S是$\sum$的面积

计算方法

用 nabla 算子可以统一表示场论里的某些运算[^nabla]

上文已经定义了 nabla 算子 $\nabla =\vec i \dfrac{\partial}{\partial x} +\vec j \dfrac{\partial}{\partial y} +\vec k \dfrac{\partial}{\partial z}$

以三维为例，进行说明：

梯度

$grad f =\nabla f$
$= \vec i \dfrac{\partial f}{\partial x} +\vec j \dfrac{\partial f}{\partial y} +\vec k \dfrac{\partial f}{\partial z}$
（nabla 算子直接作用于标量函数f）

散度

$div \vec F = \nabla \cdot \vec F$ $ =(\vec i \dfrac{\partial}{\partial x} + \vec j \dfrac{\partial}{\partial y} + \vec k \dfrac{\partial}{\partial z})\cdot (u(x,y,z)\vec i+v(x,y,z)\vec j+w(x,y,z)\vec k)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial w}{\partial z}$
(以内积的形式作用，输入一个矢量函数，输出一个标量)

旋度

$curl \vec F = \nabla \times \vec F$

曲线积分

定义

假设曲线是$\phi (t),\psi(t) ,\space t \in(\alpha,\beta)$

第一类曲线积分

$\int_l f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t)) \sqrt{\phi’{}^2(t)+\psi’{}^2(t)}dt$

第二类曲线积分

$\int_l f(x,y)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t))d\phi(t)$

关系

• $\int_l Pdx+Qdy=\int_l(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds$ 其中，$\alpha(x,y),\beta(x,y)$是L切线的方向角

• $\iint\limits_D (\dfrac{\partial Q}{\partial x } - \dfrac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_l Pdx+Qdy$ 其中，沿着l运动，D的左边规定为正

推论

• 积分与路径无关$\Longleftrightarrow \dfrac{\partial Q}{\partial x}\equiv\dfrac{\partial P}{\partial y}$

• $Pdx+Qdy$是微分$\Longleftrightarrow \dfrac{\partial Q}{\partial x}\equiv\dfrac{\partial P}{\partial y}$

直观理解

$f\equiv 1$时的第一类曲线积分，就是l弧长。（弧微分）

变元法

定理

如果：
$\Omega \subset R^m$是一个开集
$\phi:\Omega \to R^m$是一个连续可微映射
$E\subset \Omega$是一个闭约当可测集
$\det D\phi(t) \neq 0, \forall t \in int E$
$\phi(E)$在$intE$中是单一的

那么：
$\phi(E)$是一个闭若当可测集
对于任意$\phi(E)$上的连续函数$f(x)$，$\int_{\phi(E)}f(x)dx=\int_E f(\phi(t)) \mid \det D\phi(t) \mid dt$

举个例子(1)[^hi]，
$\int_{\phi(E)}f(x,y)d(x,y)=\iint_E f(x(u,v),y(u,v)) \mid \dfrac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} \mid d(u,v)$

举个例子(2),
因为$\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}$,所以，
$\iint_D f(x,y)d(x,y)=\int_0^{2\pi} \int_a^b f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$