函数的连续性也可以有拓扑含义。
定义在R上的连续函数
回顾一下通常意义上的连续函数（定义在实数集上的连续函数）
符号意义：
A是一个集合
\(f(A)=\{ f(x) \mid x \in A\}\)
\(f^{-1}(A)=\{ x\mid f(x) \in A\}\)(即使f不是一一映射，也可以被定义)
定理：
如果$f: R\to R$
有这些结论，
- 如果G是开集，那么$f^{-1}(G)$是开集
- 如果F是闭集，那么$f^{-1}(F)$是闭集
- 如果C是连通集，那么$f(C)$是连通集
- 如果K是紧集，那么$f(K)$是紧集
证明提要：
先回顾开集的定义，见于另一篇博客
$G \subset X ,\forall x \in G , \exists r>0 \ni B_r(x) \subset G$,那么把G叫做开集
如果$G\subset X$,并且G的补集$\tilde G$是开集，那么G是闭集。
区域是 连通 的,如果他不能被两个不相交的开集覆盖而这两个开集与原集合的交都非空。
- 用定义很容易
- $F=\tilde G$是开集，用1的结论。
- 据此用反证法。
- 用定义证明，不难
例子1
G是开集，$f(G)$未必是开集，例如：
$f(x)=x^2(x^2-2)$
$f((-1,1))=(-1,0]$
例子2
如果F是闭集并且有界，那么F一定是紧集（海涅-伯雷尔定理）
根据定理4，如果F是闭集并且有界，那么$f(F)$也是紧集
如果F是闭集并且无界，那么$f(F)$不一定是闭集，例如：
\(F=\{-n\pi \mid n=0,1,2,...\},f(x)=e^x \cos x\)
拓扑空间上的连续
拓扑空间上的连续函数 的定义:
$f:X \to Y$是一个函数，$X,Y$是拓扑空间
如果:$\forall G \in X$,如果G是开集，那么$f^{-1}(X)$也是开集。那么$f$是 连续 的
这个定义是从R上的连续函数的性质推广而来的。
拓扑空间上的连续函数也有一系列的定理。
参考文献
数量金融导论:数学工具箱(324-326)
proofwiki.com
