【实分析4】级数,巴拿赫空间与希尔伯特空间

本文讲解的概念:
级数
绝对收敛,条件收敛
黎曼级数定理(条件收敛的重排)
收敛性的检验
lp空间
巴拿赫空间(Banach Space)
希尔伯特空间(Hilbert Space)

级数的若干定义

级数: {j=1xj}\{\sum\limits_{j=1}^\infty x_j\}

positive series正项级数:j,xj>0\forall j ,x_j>0
negetive series负项级数:j,xj<0\forall j,x_j<0
alternating series交错级数

deverge series发散级数:j=1xj\sum\limits_{j=1}^\infty x_j不收敛
converge absolutely绝对收敛:j=1xj\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid收敛
converge conditionally条件收敛:j=1xj\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid不收敛,而j=1xj\sum\limits_{j=1}^\infty x_j 收敛

Th: 级数绝对收敛,那么级数收敛
Th: 收敛级数的和也是收敛级数

Th: 两个级数绝对收敛,和也绝对收敛
Th: 两个级数绝对收敛,积也绝对收敛
(但是两个级数收敛,积不一定收敛)

典型的级数

power harmonic series :xj=jax_j=j^{-a}

a=1时,是 harmonic series ,这个级数发散
a>1时,级数收敛

证明思路:xj=ja=j=1mja+j=m+1m2ja+j=m2+1m3ja+x_j=j^{-a}=\sum\limits_{j=1}^m j^{-a}+\sum\limits_{j=m+1}^{m^2} j^{-a}+\sum\limits_{j=m^2+1}^{m^3} j^{-a}+…

条件收敛的重排

Th:黎曼级数定理
一个条件收敛的级数j=1xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s,对于任意rRr\in R,存在重排函数π(j)\pi(j),使得,j=1xπ(j)=r\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =r
也就是说,条件收敛 的级数重排后,可以收敛于任何一个值。

Th: 那么,哪些重排函数不改变条件收敛的收敛值呢?
一个条件收敛的级数j=1xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s,如果重排函数π\pi有这种性质,那么j=1xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =sP,j,π(j)<=j+P\exists P,\forall j , \pi (j)<=j+P

Th: 当然,对于绝对收敛的级数来说,不存在重排的问题
一个绝对收敛的级数j=1xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s,对于任意的重排函数π(j)\pi(j),级数和不变,j=1xπ(j)=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =s

收敛性的判断

1. 比较判别法

1.1 比较判别法(基础形式)

{xi},{yi}\{x_i\},\{ y_i \}是正项级数,如果N,j>N,yj<xj\exists N,\forall j>N,y_j< x_j,那么

  • 如果xi\sum x_i收敛,那么yi\sum y_i收敛
  • 如果yi\sum y_i发散,那么xi\sum x_i发散

1.2 比较判别法(极限形式)

{xi},{yi}\{x_i\},\{ y_i \}是正项级数,如果limxiyi=γ(0γ+)\lim\dfrac{x_i}{y_i}=\gamma (0\leq\gamma\leq+\infty),那么

  • 如果yi\sum y_i收敛,γ<+\gamma<+\infty,那么xi\sum x_i收敛
  • 如果yi\sum y_i发散,γ>0\gamma>0,那么xi\sum x_i发散

1.3 柯西根式判别法

xi\sum x_i是正项级数,那么

  1. 如果r<1,NN\exists r<1,N\in \mathcal N,使得
    ann<r,nN\sqrt[n]{a_n}<r,\forall n\geq N
    那么an\sum a_n收敛
  2. 如果有无穷多个nn,使得
    ann1\sqrt[n]{a_n}\geq 1
    那么an\sum a_n发散

1.4 柯西根式判别法(极限形式)

xi\sum x_i是正项级数,并且limxnn=q\lim\sqrt[n]{x_n}=q,那么

  • 如果q<1q<1,则xn\sum x_n收敛
  • 如果q>1q>1,则xn\sum x_n发散

1.5 柯西积分判别法

如果函数f(x)f(x)[1,+)[1,+\infty)单调下降且非负,则
n=1+f(n)\sum_{n=1}^{+\infty} f(n)1+f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx同为收敛或同为发散

2. 比值判别法

定义 严格正项级数an>0,nn0a_n>0,\forall n\geq n_0

2.1 比较判别法(普通形式)

an,bn\sum a_n,\sum b_n都是严格正项级数,

  • 如果bn\sum b_n收敛,n0,nn0,an+1anbn+1bn\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq\dfrac{b_{n+1}}{b_n},那么an\sum a_n收敛
  • 如果bn\sum b_n发散,n0,nn0,an+1anbn+1bn\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq\dfrac{b_{n+1}}{b_n},那么an\sum a_n发散

2.2 达朗贝尔判别法(普通形式)

an\sum a_n是严格正项级数

  • 如果存在r<1,n0Nr<1,n_0 \in \mathcal N,使得
    an+1anr,nn0\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq r ,\forall n\geq n_0
    那么an\sum a_n收敛
  • 如果存在n0Nn_0\in \mathcal N,使得
    an+1an1,nn0\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1,\forall n\geq n_0
    那么an\sum a_n发散

2.3 达朗贝尔判别法(极限形式)

an\sum a_n是严格正项级数,且liman+1an=q\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q
那么

  • 如果q<1q<1,那么an\sum a_n收敛
  • 如果q>1q>1,那么an\sum a_n发散

xjx_j绝对收敛,如果N,j>N,yj<xj\exists N,\forall j>N,\mid y_j\mid<\mid x_j \mid,那么yjy_j也绝对收敛

比值判别法1

xjx_j绝对收敛,如果yjxj\mid \dfrac{y_j}{x_j} \mid收敛, 那么yjy_j也绝对收敛

比值判别法2

如果limnsupxn+1xn=L<1\lim\limits_{n \to \infty} \sup{\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L <1, 那么xjx_j绝对收敛

如果limninfxn+1xn=L>1\lim\limits_{n \to \infty} \inf {\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L >1, 那么xjx_j发散

交错级数判别法

如果

  1. xjx_j是交错级数
  2. N,j>N,xj+1<xj\exists N,\forall j>N, \mid x_{j+1} \mid <\mid x_j \mid
  3. xj0x_j \to 0

那么j=1xj\sum\limits_{j=1}^\infty x_j 收敛

lp空间

lpl_p空间与LpL_p空间不同,这里研究的是lpl_p空间,注意区别

Def:lpl_p空间的定义
lP={x={xj}j=1 xp<}l_P=\{ x=\{x_j\}_{j=1}^\infty \mid \space \mid \mid x \mid \mid_p<\infty \}

换句话说,lpl_p是一系列无限维向量组成的集合,这些向量的p-范数存在。

Th:
如果1p<p1\leq p<p’\leq\infty, 那么 lplpl_p \subset l_{p’}

Th:
lpl_p是一个完备的赋范线性空间

巴拿赫空间

Def: 定义巴拿赫空间为,完备赋范线性空间

Th: lpl_p是一个完备的赋范线性空间,也就是巴拿赫空间。

需要证明这两个命题:

  1. lpl_p空间作为赋范线性空间闭合。也就是说,
    x,ylpx+ylp\forall x,y \in l_p \Rightarrow x+y \in l_p 为真
  2. lpl_p空间完备。也就是说,lpl_p上的柯西序列收敛于lpl_p内某一点。

(证明略,下面是一些说明)

Def:Rn,QnR^n,Q^n
Rn={x=(x1,x2,...xn)xjR}R^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in R\}
Qn={x=(x1,x2,...xn)xjQ}Q^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in Q\}

显然,R0lpRR_0^\infty \subset l_p \subset R^\infty

Def:RpnR_p^n
Rpn={xRn {xj}Qn,xxjp0}(p1)R_p^n=\{x\in R^n\mid \space \exists \{x_j\} \in Q^n,\ni\mid\mid x-x_j\mid\mid_p \to 0 \} (p\geq 1)
Th:p1,Rpn=Rn\forall p \geq 1,R^n_p=R^n
也就是说,有理数集生成的完备集合,就是RnR^n

seriesrealanalysis.jpg

希尔伯特空间

Def:
定义希尔伯特空间为:完备,且含內积赋范线性空间

下面把希尔伯特空间应用于级数:

Def: 定义內积
xy=j=1xiyˉi,  x,yl2x\cdot y=\sum\limits_{j=1}^\infty x_i \bar y_i ,\space\space x,y\in l_2(复数域或实数域)

p=2这种特殊情况是由赫德尔不等式给出的:
对于p,q[0,+),p1+q1=1p,q\in[0,+\infty),p^{-1}+q^{-1}=1
都有(x,y)xpyq\mid(x,y)\mid \leq \mid\mid x\mid\mid_p \mid\mid y\mid\mid_q
赫德尔不等式强调了p=q=2这种情况。

标准正交基

Def:标准正交基
(ei,ej)={0ij1i=j(e_i,e_j)=\left \{ \begin{array}{ccc} 0&i\neq j\\ 1&i=j \end{array}\right.

Th:(Parseval identity)
{ej}j=1\{e_j\}_{j=1}^\inftyl2l_2上的任意标准正交基,那么xl2\forall x\in l_2,都有x=j=1yjejx=\sum\limits_{j=1}^\infty y_j e_j,
其中系数为yj=(x,ej)y_j=(x,e_j)
并且x22=j=1yj2\mid\mid x \mid\mid_2^2 =\sum\limits_{j=1}^\infty \mid y_j \mid^2

傅里叶变换 等,与以上定理有关。

幂级数

幂级数的定义:
f(x)=n=0cnxnf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n x^n

幂级数收敛性的判断

定义:
L=limncn+1cnL=\overline{\lim\limits_{n\to \infty}}\mid \dfrac{c_{n+1}}{c_n}\mid
R=1/LR=1/L是收敛半径

判断1:

  • x<R\mid x \mid <R时,绝对收敛
  • x>R\mid x \mid >R时,不收敛
  • x=R\mid x \mid =R时,不确定

判断2:

  • 如果x=ax=a时绝对收敛。那么xa\mid x\mid \leq a时也绝对收敛
  • 如果x=ax=a时发散。那么xa\mid x\mid \geq a时也发散


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