本文讲解的概念:
级数
绝对收敛,条件收敛
黎曼级数定理(条件收敛的重排)
收敛性的检验
lp空间
巴拿赫空间(Banach Space)
希尔伯特空间(Hilbert Space)
级数
: {j=1∑∞xj}
positive series
正项级数:∀j,xj>0
negetive series
负项级数:∀j,xj<0
alternating series
交错级数
deverge series
发散级数:j=1∑∞xj不收敛
converge absolutely
绝对收敛:j=1∑∞∣xj∣收敛
converge conditionally
条件收敛:j=1∑∞∣xj∣不收敛,而j=1∑∞xj收敛
Th: 级数绝对收敛,那么级数收敛
Th: 收敛级数的和也是收敛级数
Th: 两个级数绝对收敛,和也绝对收敛
Th: 两个级数绝对收敛,积也绝对收敛
(但是两个级数收敛,积不一定收敛)
power harmonic series :xj=j−a
a=1时,是 harmonic series ,这个级数发散
a>1时,级数收敛
证明思路:xj=j−a=j=1∑mj−a+j=m+1∑m2j−a+j=m2+1∑m3j−a+…
Th:黎曼级数定理
一个条件收敛
的级数j=1∑∞xj=s,对于任意r∈R,存在重排函数π(j),使得,j=1∑∞xπ(j)=r
也就是说,条件收敛
的级数重排后,可以收敛于任何一个值。
Th: 那么,哪些重排函数
不改变条件收敛
的收敛值呢?
一个条件收敛
的级数j=1∑∞xj=s,如果重排函数π有这种性质,那么j=1∑∞xj=s:∃P,∀j,π(j)<=j+P
Th: 当然,对于绝对收敛
的级数来说,不存在重排的问题
一个绝对收敛
的级数j=1∑∞xj=s,对于任意的重排函数π(j),级数和不变,j=1∑∞xπ(j)=s
{xi},{yi}是正项级数,如果∃N,∀j>N,yj<xj,那么
- 如果∑xi收敛,那么∑yi收敛
- 如果∑yi发散,那么∑xi发散
{xi},{yi}是正项级数,如果limyixi=γ(0≤γ≤+∞),那么
- 如果∑yi收敛,γ<+∞,那么∑xi收敛
- 如果∑yi发散,γ>0,那么∑xi发散
∑xi是正项级数,那么
- 如果∃r<1,N∈N,使得
nan<r,∀n≥N
那么∑an收敛
- 如果有无穷多个n,使得
nan≥1
那么∑an发散
∑xi是正项级数,并且limnxn=q,那么
- 如果q<1,则∑xn收敛
- 如果q>1,则∑xn发散
如果函数f(x)在[1,+∞)单调下降且非负,则
∑n=1+∞f(n)与∫1+∞f(x)dx同为收敛或同为发散
定义 严格正项级数: an>0,∀n≥n0
∑an,∑bn都是严格正项级数,
- 如果∑bn收敛,∃n0,∀n≥n0,anan+1≤bnbn+1,那么∑an收敛
- 如果∑bn发散,∃n0,∀n≥n0,anan+1≥bnbn+1,那么∑an发散
∑an是严格正项级数
- 如果存在r<1,n0∈N,使得
anan+1≤r,∀n≥n0
那么∑an收敛
- 如果存在n0∈N,使得
anan+1≥1,∀n≥n0
那么∑an发散
∑an是严格正项级数,且limanan+1=q
那么
- 如果q<1,那么∑an收敛
- 如果q>1,那么∑an发散
xj绝对收敛
,如果∃N,∀j>N,∣yj∣<∣xj∣,那么yj也绝对收敛
xj绝对收敛
,如果∣xjyj∣收敛, 那么yj也绝对收敛
如果n→∞limsup∣xnxn+1∣=L<1, 那么xj绝对收敛
如果n→∞liminf∣xnxn+1∣=L>1, 那么xj发散
如果 :
- xj是交错级数
- ∃N,∀j>N,∣xj+1∣<∣xj∣
- xj→0
那么 ,j=1∑∞xj收敛
lp空间与Lp空间不同,这里研究的是lp空间,注意区别
Def:lp空间的定义
lP={x={xj}j=1∞∣ ∣∣x∣∣p<∞}
换句话说,lp是一系列无限维向量组成的集合,这些向量的p-范数存在。
Th:
如果1≤p<p’≤∞, 那么 lp⊂lp’
Th:
lp是一个完备的赋范线性空间
Def: 定义巴拿赫空间为,完备
的赋范线性空间
Th: lp是一个完备的赋范线性空间,也就是巴拿赫空间。
需要证明这两个命题:
- lp空间作为赋范线性空间闭合。也就是说,
∀x,y∈lp⇒x+y∈lp为真
- lp空间完备。也就是说,lp上的柯西序列收敛于lp内某一点。
(证明略,下面是一些说明)
Def:Rn,Qn
Rn={x=(x1,x2,...xn)∣xj∈R}
Qn={x=(x1,x2,...xn)∣xj∈Q}
显然,R0∞⊂lp⊂R∞
Def:Rpn
Rpn={x∈Rn∣ ∃{xj}∈Qn,∋∣∣x−xj∣∣p→0}(p≥1)
Th:∀p≥1,Rpn=Rn
也就是说,有理数集生成的完备集合,就是Rn

Def:
定义希尔伯特空间为:完备
,且含內积
的赋范线性空间
下面把希尔伯特空间应用于级数:
Def: 定义內积
x⋅y=j=1∑∞xiyˉi, x,y∈l2(复数域或实数域)
p=2这种特殊情况是由赫德尔不等式
给出的:
对于p,q∈[0,+∞),p−1+q−1=1
都有∣(x,y)∣≤∣∣x∣∣p∣∣y∣∣q
赫德尔不等式
强调了p=q=2这种情况。
Def:标准正交基
(ei,ej)={01i=ji=j
Th:(Parseval identity)
{ej}j=1∞是l2上的任意标准正交基,那么∀x∈l2,都有x=j=1∑∞yjej,
其中系数为yj=(x,ej)
并且∣∣x∣∣22=j=1∑∞∣yj∣2
傅里叶变换 等,与以上定理有关。
幂级数的定义:
f(x)=n=0∑∞cnxn
定义:
L=n→∞lim∣cncn+1∣
R=1/L是收敛半径
判断1:
- ∣x∣<R时,绝对收敛
- ∣x∣>R时,不收敛
- ∣x∣=R时,不确定
判断2:
- 如果x=a时绝对收敛。那么∣x∣≤a时也绝对收敛
- 如果x=a时发散。那么∣x∣≥a时也发散