本文讲解的概念：
级数
绝对收敛，条件收敛
黎曼级数定理（条件收敛的重排）
收敛性的检验
lp空间
巴拿赫空间（Banach Space）
希尔伯特空间（Hilbert Space）

级数的若干定义

级数: \(\{\sum\limits_{j=1}^\infty x_j\}\)

positive series正项级数：$\forall j ,x_j>0$
negetive series负项级数：$\forall j,x_j<0$
alternating series交错级数

deverge series发散级数：$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j$不收敛
converge absolutely绝对收敛：$\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid$收敛
converge conditionally条件收敛：$\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid$不收敛，而$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j $收敛

Th： 级数绝对收敛，那么级数收敛
Th： 收敛级数的和也是收敛级数

Th： 两个级数绝对收敛，和也绝对收敛
Th： 两个级数绝对收敛，积也绝对收敛
(但是两个级数收敛，积不一定收敛)

典型的级数

power harmonic series :$x_j=j^{-a}$

a=1时，是 harmonic series ,这个级数发散
a>1时，级数收敛

证明思路：$x_j=j^{-a}=\sum\limits_{j=1}^m j^{-a}+\sum\limits_{j=m+1}^{m^2} j^{-a}+\sum\limits_{j=m^2+1}^{m^3} j^{-a}+…$

条件收敛的重排

Th：黎曼级数定理
一个条件收敛的级数$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$,对于任意$r\in R$,存在重排函数$\pi(j)$，使得，$\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =r$
也就是说，条件收敛 的级数重排后，可以收敛于任何一个值。

Th： 那么，哪些重排函数不改变条件收敛的收敛值呢？
一个条件收敛的级数$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$,如果重排函数$\pi$有这种性质，那么$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$：$\exists P,\forall j , \pi (j)<=j+P$

Th: 当然，对于绝对收敛的级数来说，不存在重排的问题
一个绝对收敛的级数$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$,对于任意的重排函数$\pi(j)$，级数和不变，$\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =s$

收敛性的判断

1. 比较判别法

1.1 比较判别法（基础形式）

\(\{x_i\},\{ y_i \}\)是正项级数，如果$\exists N,\forall j>N,y_j< x_j$，那么

• 如果$\sum x_i$收敛，那么$\sum y_i$收敛
• 如果$\sum y_i$发散，那么$\sum x_i$发散

1.2 比较判别法（极限形式）

\(\{x_i\},\{ y_i \}\)是正项级数，如果$\lim\dfrac{x_i}{y_i}=\gamma (0\leq\gamma\leq+\infty)$，那么

• 如果$\sum y_i$收敛，$\gamma<+\infty$,那么$\sum x_i$收敛
• 如果$\sum y_i$发散，$\gamma>0$,那么$\sum x_i$发散

1.3 柯西根式判别法

$\sum x_i$是正项级数，那么

1. 如果$\exists r<1,N\in \mathcal N$,使得
   $\sqrt[n]{a_n}<r,\forall n\geq N$
   那么$\sum a_n$收敛
2. 如果有无穷多个$n$,使得
   $\sqrt[n]{a_n}\geq 1$
   那么$\sum a_n$发散

1.4 柯西根式判别法（极限形式）

$\sum x_i$是正项级数，并且$\lim\sqrt[n]{x_n}=q$，那么

• 如果$q<1$,则$\sum x_n$收敛
• 如果$q>1$,则$\sum x_n$发散

1.5 柯西积分判别法

如果函数$f(x)$在$[1,+\infty)$单调下降且非负，则
$\sum_{n=1}^{+\infty} f(n)$与$\int_1^{+\infty}f(x)dx$同为收敛或同为发散

2. 比值判别法

定义 严格正项级数： $a_n>0,\forall n\geq n_0$

2.1 比较判别法（普通形式）

$\sum a_n,\sum b_n$都是严格正项级数，

• 如果$\sum b_n$收敛，$\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$，那么$\sum a_n$收敛
• 如果$\sum b_n$发散，$\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$,那么$\sum a_n$发散

2.2 达朗贝尔判别法（普通形式）

$\sum a_n$是严格正项级数

• 如果存在$r<1,n_0 \in \mathcal N$，使得
  $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq r ,\forall n\geq n_0$
  那么$\sum a_n$收敛
• 如果存在$n_0\in \mathcal N$,使得
  $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1,\forall n\geq n_0$
  那么$\sum a_n$发散

2.3 达朗贝尔判别法（极限形式）

$\sum a_n$是严格正项级数，且$\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$
那么

• 如果$q<1$,那么$\sum a_n$收敛
• 如果$q>1$,那么$\sum a_n$发散

$x_j$绝对收敛，如果$\exists N,\forall j>N,\mid y_j\mid<\mid x_j \mid$,那么$y_j$也绝对收敛

比值判别法1

$x_j$绝对收敛，如果$\mid \dfrac{y_j}{x_j} \mid$收敛, 那么$y_j$也绝对收敛

比值判别法2

如果$\lim\limits_{n \to \infty} \sup{\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L <1$, 那么$x_j$绝对收敛

如果$\lim\limits_{n \to \infty} \inf {\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L >1$, 那么$x_j$发散

交错级数判别法

如果 ：

1. $x_j$是交错级数
2. $\exists N,\forall j>N, \mid x_{j+1} \mid <\mid x_j \mid $
3. $x_j \to 0$

那么 ，$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j $收敛

lp空间

$l_p$空间与$L_p$空间不同，这里研究的是$l_p$空间，注意区别

Def：$l_p$空间的定义
\(l_P=\{ x=\{x_j\}_{j=1}^\infty \mid \space \mid \mid x \mid \mid_p<\infty \}\)

换句话说，$l_p$是一系列无限维向量组成的集合，这些向量的p-范数存在。

Th：
如果$1\leq p<p’\leq\infty$, 那么 $l_p \subset l_{p’}$

Th:
$l_p$是一个完备的赋范线性空间

巴拿赫空间

Def： 定义巴拿赫空间为，完备的赋范线性空间

Th: $l_p$是一个完备的赋范线性空间，也就是巴拿赫空间。

需要证明这两个命题：

1. $l_p$空间作为赋范线性空间闭合。也就是说，
   $\forall x,y \in l_p \Rightarrow x+y \in l_p $为真
2. $l_p$空间完备。也就是说，$l_p$上的柯西序列收敛于$l_p$内某一点。

（证明略，下面是一些说明）

Def：$R^n,Q^n$
\(R^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in R\}\)
\(Q^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in Q\}\)

显然，$R_0^\infty \subset l_p \subset R^\infty$

Def：$R_p^n$
\(R_p^n=\{x\in R^n\mid \space \exists \{x_j\} \in Q^n,\ni\mid\mid x-x_j\mid\mid_p \to 0 \} (p\geq 1)\)
Th:$\forall p \geq 1,R^n_p=R^n$
也就是说，有理数集生成的完备集合，就是$R^n$

希尔伯特空间

Def：
定义希尔伯特空间为：完备，且含內积的赋范线性空间

下面把希尔伯特空间应用于级数：

Def： 定义內积
$x\cdot y=\sum\limits_{j=1}^\infty x_i \bar y_i ,\space\space x,y\in l_2$(复数域或实数域)

p=2这种特殊情况是由赫德尔不等式给出的：
对于$p,q\in[0,+\infty),p^{-1}+q^{-1}=1$
都有$\mid(x,y)\mid \leq \mid\mid x\mid\mid_p \mid\mid y\mid\mid_q$
赫德尔不等式强调了p=q=2这种情况。

标准正交基

Def：标准正交基
\((e_i,e_j)=\left \{ \begin{array}{ccc} 0&i\neq j\\ 1&i=j \end{array}\right.\)

Th：（Parseval identity)
\(\{e_j\}_{j=1}^\infty\)是$l_2$上的任意标准正交基，那么$\forall x\in l_2$,都有$x=\sum\limits_{j=1}^\infty y_j e_j$,
其中系数为$y_j=(x,e_j)$
并且\(\mid\mid x \mid\mid_2^2 =\sum\limits_{j=1}^\infty \mid y_j \mid^2\)

傅里叶变换 等，与以上定理有关。

幂级数

幂级数的定义：
$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n x^n$

幂级数收敛性的判断

定义：
$L=\overline{\lim\limits_{n\to \infty}}\mid \dfrac{c_{n+1}}{c_n}\mid$
$R=1/L$是收敛半径

判断1：

• $\mid x \mid <R$时，绝对收敛
• $\mid x \mid >R$时，不收敛
• $\mid x \mid =R$时，不确定

判断2：

• 如果$x=a$时绝对收敛。那么$\mid x\mid \leq a$时也绝对收敛
• 如果$x=a$时发散。那么$\mid x\mid \geq a$时也发散