【实分析4】级数，巴拿赫空间与希尔伯特空间



🗓 2017年07月23日     📁 文章归类: 0x51_代数与分析    

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本文讲解的概念：
级数
绝对收敛，条件收敛
黎曼级数定理（条件收敛的重排）
收敛性的检验
lp空间
巴拿赫空间（Banach Space）
希尔伯特空间（Hilbert Space）

级数的若干定义

级数: {∑j=1∞xj}\{\sum\limits_{j=1}^\infty x_j\}

positive series正项级数：∀j,xj>0\forall j ,x_j>0
negetive series负项级数：∀j,xj<0\forall j,x_j<0
alternating series交错级数

deverge series发散级数：∑j=1∞xj\sum\limits_{j=1}^\infty x_j不收敛
converge absolutely绝对收敛：∑j=1∞∣xj∣\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid收敛
converge conditionally条件收敛：∑j=1∞∣xj∣\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid不收敛，而∑j=1∞xj\sum\limits_{j=1}^\infty x_j 收敛

Th： 级数绝对收敛，那么级数收敛
Th： 收敛级数的和也是收敛级数

Th： 两个级数绝对收敛，和也绝对收敛
Th： 两个级数绝对收敛，积也绝对收敛
(但是两个级数收敛，积不一定收敛)

典型的级数

power harmonic series :xj=j−ax_j=j^{-a}

a=1时，是 harmonic series ,这个级数发散
a>1时，级数收敛

证明思路：xj=j−a=∑j=1mj−a+∑j=m+1m2j−a+∑j=m2+1m3j−a+…x_j=j^{-a}=\sum\limits_{j=1}^m j^{-a}+\sum\limits_{j=m+1}^{m^2} j^{-a}+\sum\limits_{j=m^2+1}^{m^3} j^{-a}+…

条件收敛的重排

Th：黎曼级数定理
一个条件收敛的级数∑j=1∞xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s,对于任意r∈Rr\in R,存在重排函数π(j)\pi(j)，使得，∑j=1∞xπ(j)=r\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =r
也就是说，条件收敛 的级数重排后，可以收敛于任何一个值。

Th： 那么，哪些重排函数不改变条件收敛的收敛值呢？
一个条件收敛的级数∑j=1∞xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s,如果重排函数π\pi有这种性质，那么∑j=1∞xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s：∃P,∀j,π(j)<=j+P\exists P,\forall j , \pi (j)<=j+P

Th: 当然，对于绝对收敛的级数来说，不存在重排的问题
一个绝对收敛的级数∑j=1∞xj=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s,对于任意的重排函数π(j)\pi(j)，级数和不变，∑j=1∞xπ(j)=s\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =s

收敛性的判断

1. 比较判别法

1.1 比较判别法（基础形式）

{xi},{yi}\{x_i\},\{ y_i \}是正项级数，如果∃N,∀j>N,yj<xj\exists N,\forall j>N,y_j< x_j，那么

  • 如果∑xi\sum x_i收敛，那么∑yi\sum y_i收敛
  • 如果∑yi\sum y_i发散，那么∑xi\sum x_i发散

1.2 比较判别法（极限形式）

{xi},{yi}\{x_i\},\{ y_i \}是正项级数，如果lim⁡xiyi=γ(0≤γ≤+∞)\lim\dfrac{x_i}{y_i}=\gamma (0\leq\gamma\leq+\infty)，那么

  • 如果∑yi\sum y_i收敛，γ<+∞\gamma<+\infty,那么∑xi\sum x_i收敛
  • 如果∑yi\sum y_i发散，γ>0\gamma>0,那么∑xi\sum x_i发散

1.3 柯西根式判别法

∑xi\sum x_i是正项级数，那么

  1. 如果∃r<1,N∈N\exists r<1,N\in \mathcal N,使得
    ann<r,∀n≥N\sqrt[n]{a_n}<r,\forall n\geq N
    那么∑an\sum a_n收敛
  2. 如果有无穷多个nn,使得
    ann≥1\sqrt[n]{a_n}\geq 1
    那么∑an\sum a_n发散

1.4 柯西根式判别法（极限形式）

∑xi\sum x_i是正项级数，并且lim⁡xnn=q\lim\sqrt[n]{x_n}=q，那么

  • 如果q<1q<1,则∑xn\sum x_n收敛
  • 如果q>1q>1,则∑xn\sum x_n发散

1.5 柯西积分判别法

如果函数f(x)f(x)在[1,+∞)[1,+\infty)单调下降且非负，则
∑n=1+∞f(n)\sum_{n=1}^{+\infty} f(n)与∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx同为收敛或同为发散

2. 比值判别法

定义 严格正项级数： an>0,∀n≥n0a_n>0,\forall n\geq n_0

2.1 比较判别法（普通形式）

∑an,∑bn\sum a_n,\sum b_n都是严格正项级数，

  • 如果∑bn\sum b_n收敛，∃n0,∀n≥n0,an+1an≤bn+1bn\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq\dfrac{b_{n+1}}{b_n}，那么∑an\sum a_n收敛
  • 如果∑bn\sum b_n发散，∃n0,∀n≥n0,an+1an≥bn+1bn\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq\dfrac{b_{n+1}}{b_n},那么∑an\sum a_n发散

2.2 达朗贝尔判别法（普通形式）

∑an\sum a_n是严格正项级数

  • 如果存在r<1,n0∈Nr<1,n_0 \in \mathcal N，使得
    an+1an≤r,∀n≥n0\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq r ,\forall n\geq n_0
    那么∑an\sum a_n收敛
  • 如果存在n0∈Nn_0\in \mathcal N,使得
    an+1an≥1,∀n≥n0\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1,\forall n\geq n_0
    那么∑an\sum a_n发散

2.3 达朗贝尔判别法（极限形式）

∑an\sum a_n是严格正项级数，且lim⁡an+1an=q\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q
那么

  • 如果q<1q<1,那么∑an\sum a_n收敛
  • 如果q>1q>1,那么∑an\sum a_n发散

xjx_j绝对收敛，如果∃N,∀j>N,∣yj∣<∣xj∣\exists N,\forall j>N,\mid y_j\mid<\mid x_j \mid,那么yjy_j也绝对收敛

比值判别法1

xjx_j绝对收敛，如果∣yjxj∣\mid \dfrac{y_j}{x_j} \mid收敛, 那么yjy_j也绝对收敛

比值判别法2

如果lim⁡n→∞sup⁡∣xn+1xn∣=L<1\lim\limits_{n \to \infty} \sup{\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L <1, 那么xjx_j绝对收敛

如果lim⁡n→∞inf⁡∣xn+1xn∣=L>1\lim\limits_{n \to \infty} \inf {\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L >1, 那么xjx_j发散

交错级数判别法

如果 ：

  1. xjx_j是交错级数
  2. ∃N,∀j>N,∣xj+1∣<∣xj∣\exists N,\forall j>N, \mid x_{j+1} \mid <\mid x_j \mid
  3. xj→0x_j \to 0

那么 ，∑j=1∞xj\sum\limits_{j=1}^\infty x_j 收敛

lp空间

lpl_p空间与LpL_p空间不同，这里研究的是lpl_p空间，注意区别

Def：lpl_p空间的定义
lP={x={xj}j=1∞∣ ∣∣x∣∣p<∞}l_P=\{ x=\{x_j\}_{j=1}^\infty \mid \space \mid \mid x \mid \mid_p<\infty \}

换句话说，lpl_p是一系列无限维向量组成的集合，这些向量的p-范数存在。

Th：
如果1≤p<p’≤∞1\leq p<p’\leq\infty, 那么 lp⊂lp’l_p \subset l_{p’}

Th:
lpl_p是一个完备的赋范线性空间

巴拿赫空间

Def： 定义巴拿赫空间为，完备的赋范线性空间

Th: lpl_p是一个完备的赋范线性空间，也就是巴拿赫空间。

需要证明这两个命题：

  1. lpl_p空间作为赋范线性空间闭合。也就是说，
    ∀x,y∈lp⇒x+y∈lp\forall x,y \in l_p \Rightarrow x+y \in l_p 为真
  2. lpl_p空间完备。也就是说，lpl_p上的柯西序列收敛于lpl_p内某一点。

（证明略，下面是一些说明）

Def：Rn,QnR^n,Q^n
Rn={x=(x1,x2,...xn)∣xj∈R}R^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in R\}
Qn={x=(x1,x2,...xn)∣xj∈Q}Q^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in Q\}

显然，R0∞⊂lp⊂R∞R_0^\infty \subset l_p \subset R^\infty

Def：RpnR_p^n
Rpn={x∈Rn∣ ∃{xj}∈Qn,∋∣∣x−xj∣∣p→0}(p≥1)R_p^n=\{x\in R^n\mid \space \exists \{x_j\} \in Q^n,\ni\mid\mid x-x_j\mid\mid_p \to 0 \} (p\geq 1)
Th:∀p≥1,Rpn=Rn\forall p \geq 1,R^n_p=R^n
也就是说，有理数集生成的完备集合，就是RnR^n

seriesrealanalysis.jpg

希尔伯特空间

Def：
定义希尔伯特空间为：完备，且含內积的赋范线性空间

下面把希尔伯特空间应用于级数：

Def： 定义內积
x⋅y=∑j=1∞xiyˉi,  x,y∈l2x\cdot y=\sum\limits_{j=1}^\infty x_i \bar y_i ,\space\space x,y\in l_2(复数域或实数域)

p=2这种特殊情况是由赫德尔不等式给出的：
对于p,q∈[0,+∞),p−1+q−1=1p,q\in[0,+\infty),p^{-1}+q^{-1}=1
都有∣(x,y)∣≤∣∣x∣∣p∣∣y∣∣q\mid(x,y)\mid \leq \mid\mid x\mid\mid_p \mid\mid y\mid\mid_q
赫德尔不等式强调了p=q=2这种情况。

标准正交基

Def：标准正交基
(ei,ej)={0i≠j1i=j(e_i,e_j)=\left \{ \begin{array}{ccc} 0&i\neq j\\ 1&i=j \end{array}\right.

Th：（Parseval identity)
{ej}j=1∞\{e_j\}_{j=1}^\infty是l2l_2上的任意标准正交基，那么∀x∈l2\forall x\in l_2,都有x=∑j=1∞yjejx=\sum\limits_{j=1}^\infty y_j e_j,
其中系数为yj=(x,ej)y_j=(x,e_j)
并且∣∣x∣∣22=∑j=1∞∣yj∣2\mid\mid x \mid\mid_2^2 =\sum\limits_{j=1}^\infty \mid y_j \mid^2

傅里叶变换 等，与以上定理有关。

幂级数

幂级数的定义：
f(x)=∑n=0∞cnxnf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n x^n

幂级数收敛性的判断

定义：
L=lim⁡n→∞‾∣cn+1cn∣L=\overline{\lim\limits_{n\to \infty}}\mid \dfrac{c_{n+1}}{c_n}\mid
R=1/LR=1/L是收敛半径

判断1：

  • ∣x∣<R\mid x \mid <R时，绝对收敛
  • ∣x∣>R\mid x \mid >R时，不收敛
  • ∣x∣=R\mid x \mid =R时，不确定

判断2：

  • 如果x=ax=a时绝对收敛。那么∣x∣≤a\mid x\mid \leq a时也绝对收敛
  • 如果x=ax=a时发散。那么∣x∣≥a\mid x\mid \geq a时也发散
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