本文讲解的概念：
度量空间(metric space)中的序列
序列的收敛性
柯西数列
完备的度量空间
紧集
metric space中的序列
Def1：metric space中的序列
$(X,d)$是metric space，如果\(\{x_n\}\)是一个可数、无限的集合，那么称之为序列。
Def2： 序列有界
if $\exists D, \exists y\in X \ni \forall n,d(y,x_n)<D$,称为有界。
Def3： 序列收敛
$\forall \varepsilon , \exists N(\varepsilon) \ni \forall n>N,d(x_n,x)<\varepsilon$,
称为收敛，记为$\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x$
metric space中序列极限的性质
TH1： 如果两个metric是Lipschiz equvalent的，那么收敛性也等价。
如果metric spaceX上两个metric, $d_1,d_2$李普希斯等价，\(\{ x_n \} \subset X\). 那么序列在$(X,d_1)$上收敛于x，当且仅当在$(X,d_2)$上收敛于x
TH2：
if $\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x$ and $\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x’$, then $x=x’$
TH3:
if$\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x$,那么$x_n$有界
TH4:
\(\{x_n\} \to x,\{y_n\} \to y\),
- $ax_n \to ax$
- $x_n+y_n \to x+y$
metric space中的柯西序列
Def：紧集
如果X的每个开覆盖都包含一个有限的子覆盖，那么称$(X,d)$是紧集
有界子列可以收敛
TH1： 紧集中的序列，存在收敛子列
\(\{ x_n \} \subset X\), X是紧集
那么存在子列\(\{ y_m \} \subset \{ x_n \}\),使$y_m \to y$，而且$y \in X$
TH2: 欧式空间中的有界序列，存在收敛子列
\(\{ x_n \} \subset R^n\),
那么存在子列\(\{ y_m \} \subset \{ x_n \}\),使$y_m \to y$,而且$y \in R^n$
柯西序列
Def： 柯西序列
称\(\{ x_n \} \subset X\)是柯西序列，如果：
$(X,d)$是metric space，$\forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon),\forall m,n>N \ni d(x_n,x_m)<\varepsilon$
Th:如果两个metric 是 Lipschiz equvalent的，那么柯西准则也等价。
如果metric spaceX上两个metric $d_1,d_2$李普希斯等价，\(\{ x_n \} \subset X\). 那么序列在$(X,d_1)$上是柯西序列，当且仅当在$(X,d_2)$上也是柯西序列
TH1: 柯西序列有界
\(\{ x_n \} \subset X\)是一个柯西序列，那么\(\{ x_n \}\)有界
TH2：收敛序列是柯西序列
\(\{ x_n \} \subset X\), and $x_n \to x$, then,
$x_n$是柯西序列。
TH3：紧的柯西序列是收敛序列
\(\{ x_n \} \subset X\)是柯西序列，并且X是紧metric space，那么$x_n$收敛
TH4：复空间中的柯西序列是收敛序列
\(\{ x_n \} \subset X\)是柯西序列，并且$X=R,C,R^n$,那么$x_n$收敛
完备的metric space
Def：完备的metric space
$(X,d)$是一个metric space，如果X内每一个柯西序列都收敛于X内的一点，那么称X在d下是完备的。
例子：
- $R,C,R^n$在二阶范数下是完备的
- $R^n$在$l_p$下是完备的
- 紧的度量空间是完备的
- $Q$在标准度量下不完备，$Q \cap [0,1]$不完备，任意开区间$(a,b)$不完备
- （与上一条类似）$Q^n$在标准度量下不完备，$Q^n \cap B_R(x)$不完备，$B_R(x)$不完备
