ARCH模型又叫自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedastic process）
ARCH的定义
如果一个随机过程${ \varepsilon_t }$的平方$\varepsilon_t^2$服从AR(p)过程，即
$\varepsilon_t^2=a_0+a_1 \varepsilon_{t-1}^2a_1 +a_2 \varepsilon_{t-1}^2+…+a_q \varepsilon_{t-q}^2+\eta_t$,
其中，$\eta_t$独立同分布，且有$E(\eta_t)=0,D(\eta_t)=\lambda^2(t=1,2,…)$,
那么称${ \varepsilon_t }$服从q阶的ARCH过程,记为
$\varepsilon_t\sim ARCH(q)$
假定
$\varepsilon_t/\sqrt{h_t} \sim N(0,1)$
那么构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数
或者说，残差的平方符合AR(p)模型，$\varepsilon_t^2\sim AR(q)$
GARCH
- ARCH 模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程
- GARCH 模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程
\(\left\{\begin{array}{l}
x_t=f(t,x_{t-1},x_{t-2},...)+\varepsilon_t\\
\varepsilon_t=\sqrt{h_t}e_t\\
h_t=w+\sum\limits_{i=1}^p \eta_ih_{t-i}+\sum\limits_{j=1}^q \lambda_j \varepsilon_{t-j}^2
\end{array}\right.\)
where,
$w>0,\eta_i\geq0,\lambda_j\geq0$ 参数非负
$\sum\limits_{i=1}^p \eta_i+\sum\limits_{j=1}^q \lambda_j<1$ 参数有界
