【集合】其它



2017年06月29日    Author:Guofei

文章归类: 0x51_代数与分析    文章编号: 5999

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实数

定义为戴德金分割
实数是不可列的,用康托尔对角线法证明
http://www.matrix67.com/blog/archives/4812

实数集开集和闭集

开球 的定义
定义R上,以x为中心,r为半径的开球为\(B_r(x)=\{ y\in R \mid \space \mid x-y \mid <r\}\)

命题 :$G \subset R$是开集当且仅当存在一个可数且不相交的开区间\(\{ I_n \}\),使得\(G=\bigcup I_n\)

康托尔三分集

康托尔三分集是一种特殊的集合,有一些良好的反直观性质。
例如,

  1. 它是一个可数个闭集\(\{F_n\}\)的交集,
  2. 因此\(K=\bigcap F_n\)为闭集
  3. 虽然是闭集,但长度为0
  4. 虽然“覆盖于”整个区间,但长度为0
  5. 虽然是可数个闭集的交,但本身是不可数的。

定义: 区间[0,1]上,每个连续的闭集,去掉中间三分之一的开区间无穷多次迭代,例如:
\(F_0=[0,1]\)
\(F_1=F_0-(1/3,2/3)\)
\(F_2=F_1-\{ (1/9,2/9)\cup(7/9,9/9)\}\)

性质

  1. 闭集
  2. 长度为0
    证明思路:
    先去掉1/3,然后去掉2 * 1/9,然后去掉4 * 1/27,。。。
    去掉部分长度为\(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{2^n}{3^{n+1}}=1\),所以保留部分为0
  3. 不可数
    证明思路:
    康托尔集合可以与一个三进制数对应:
    \(x_{(3)}=0.a_1s_2s_3a_4...\)
    其中\(a_i=0,1,2\)
    康托尔集移除“中间三分之一”,等价于去掉了\(a_j=1\)的情况,也就是\(\forall j ,a_j \neq 1\)。
    这样,每一位就只有0或2
    把每一位除以2以后,与二进制的实数集对应。
    实数集是不可数的。

n维欧式空间上的开集和闭集

上面讨论了实数域上的开集和闭集, 这一个小标题内,把理论推广到$R^n$上,
进而推广到Metric Space(度量空间)内(有关测度的基础知识,见于我的另一篇博客范数、测度和距离
进一步推广到拓扑空间。

开球 的定义
定义$R^n$上,以x为中心,r为半径的开球为\(B_r(x)=\{ y\in R^n \mid \space \mid x-y \mid <r\}\)
其中$\mid x \mid$是范数

开集 的定义
$G \subset R^n ,\forall x \in G , \exists r>0 \ni B_r(x) \subset G$,那么把G叫做开集

闭集 的定义
如果$G\subset R^n$,并且G的补集$\tilde G$是开集,那么G是闭集。

命题1

  • 如果\(\{ G_a \}\)是任意开集的集合,$G_a\subset R^n$,那么$\bigcup G_a$是开集,如果这个集合是有限的,那么$\bigcap G_a$是开集。
  • 如果\(\{ F_a \}\)是任意闭集的集合,$F_a\subset R^n$,那么$\bigcap F_a$是闭集,如果这个集合是有限的,那么$\bigcup G_a$是闭集。

也就是说,在欧式空间上,任意开集的并集是开集,有限开集的交集是开集。

命题2
如果两个$R^n$上的metric $d’(),d()$ Lipschiz等价。那么如果在$d’$定义的开球下是开集,那么在$d$定义的开球下也是开集。

Metric Space中的开子集和闭子集

把上面的定义推广到Metric Space:

开球 的定义:
$(X,d)$是一个metric space,$x\in X$,关于x的半径r的开球表示为$B_r(x)$,定义为:
\(B_r(x)=\{ y \mid d(x,y)<r \}\)

开集 的定义:
$G \subset X ,\forall x \in G , \exists r>0 \ni B_r(x) \subset G$,那么把G叫做开集

闭集 的定义
如果$G\subset X$,并且G的补集$\tilde G$是开集,那么G是闭集。

命题
如果两个$R^n$上的metric $d’(),d()$ Lipschiz等价。那么如果在$d’$定义的开球下是开集,那么在$d$定义的开球下也是开集。

聚点 (cluster point)的定义:
$(X,d)$是一个metric space,$E\subset X$,
$x\in X$是E的一个聚点,如果$\forall r>0,B_r (x)\cap E \neq \emptyset$

稠密 的定义:
$(X,d)$是一个metric space,$E\subset X$,
称E是稠密的,如果$\forall x\in E,x$是E的聚点。

一些例子

开区间与闭区间

任意开区间的并是开区间,有限开区间的交是开区间
任意闭区间的交是闭区间,有限开区间的并是闭区间
$G_n=(-\dfrac{1}{n},1+\dfrac{1}{n})$,那么$\bigcap G_n=[0,1]$是闭集
$F_n=[\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}]$,那么$\bigcup F_n=(0,1)$是开集

素数

数论里面有这么几个简单的理论:

  1. 素数是无限多的,
    证明:
    (反证法)如果$n_1,n_2,…n_k$是全部素数,那么$n=n_1 * n_2 * … * n_k+1$是合数,然而并不能被任何素数整除,因此又是素数(矛盾)
  2. 算数基本定理 因子分解到素数唯一。
    具体内容:https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic
    证明这个定理时,用到欧几里得引理,贝祖恒等式

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